Уклінно просимо заповнити Опитування про фонему Е  


[Феофан Прокопович. Філософські твори. Том III. Математика. Книжка I]

Попередня     Головна     Наступна         Примітки





МАТЕМАТИКА


ПЕРЕДМОВА ДО АРИФМЕТИКИ Й ГЕОМЕТРІЇ... 1



Хоч і палке прагнення до знання, яким творець природи наділив людський розум, проте воно невпинно і бурхливо росте й посилюється, щоб охопити не тільки ту чи іншу галузь знання, а й щоб з якоюсь ненаситною жадобою поглинути всі без винятку науки, на свіжі сліди яких розум наш щойно натрапив.

Однак я дуже часто помічав сам за собою і за багатьма іншими, що жодна наука не запалює так сильно бажанням пізнання, як математика, — наука вельми цікава й захоплююча. Адже ти не знайдеш жодної людини, яка б, почувши навіть про одне якесь незрозуміле й загадкове геометричне чи оптичне явище, не виявила надзвичайної цікавості й захоплення. І якби трапилася нагода дослідити подібне явище, то ти побачив би, що ніяка інша робота не може викликати у людини більшого інтересу. Очевидно, людський розум має таку особливість, що його завжди приваблюють тільки та їжа і тальки ті страви, найприємніші й найсмачніші для нього, які він здобув своєю власною працею, і саме через це він віддає їм перевагу.

Причиною цього, на мій погляд, є те, що математика може нам переконливо пояснити й довести такі речі, що якби це пообіцяв зробити хтось інший, а не математик, то те здавалося б нам дуже далеким від істини і малоймовірним. Адже, хто, питаю, може одразу повірити, коли почує, що людина, стоячи на одному березі, не переходячи на той бік, не натягаючи шнура, без обчислення пальмів 2 і ліктів 3, одразу, майже без труднощів і з одного лише погляду, може визначити точно розміри широченного гирла будь-якої великої ріки, /4зв./ яке б воно широке не було. Отже, наскільки малоймовірно, коли про це чуєш, настільки викликає велике здивування й захоплення, коли бачиш, як воно здійснюється! І коли б хтось сказав, що й ти можеш зробити те саме, якщо осягнеш цю науку, то ти не міг би не відчути в душі найпалкішого бажання вивчати її.

Навряд чи можна передати словами, як приємно і радісно, нарешті, відкривати те й оволодівати тим, чого ми з такою жадібністю прагнемо.

До цього треба додати ще й ту обставину, що предметом математичної науки є такі речі, спостереження й дослідження \10\ яких могли б здатися неможливими тому, що вони ніби зовсім віддалені від наших почуттів. Проте вони надзвичайно прості, ясні й можуть сприйматися почуттями. Завжди, коли ми це помічаємо, ми дивуємося й радіємо водночас: дивуємося, бо можемо пізнати те, що здається важким для пізнання, радіємо, бо не уявляли, як легко можна було ці речі пізнати. Ось саме через це, гадаю, всіх нас охоплює найпалкіша пристрасть до математичних наук.

І тому, що я добре відчув це на власному досвіді, я впевнений, що й серед моїх учнів не знайдеться жодного, хто б від усього серця не намагався оволодіти цією галуззю науки. Отже, я вважаю, що несправедливо скривдив би найкращих представників молодого покоління, якщо б, збудивши у них такі прекрасні прагнення, не виправдав їхніх сподівань, позбавивши можливості пізнати таку науку.

Викладаючи філософію, я пообіцяв у передмові подати принаймні чотири її розділи: діалектику, фізику, етику та метафізику, бо математичні науки такі численні й трудомісткі, що вимагають для себе окремого місця. Однак, частково за своїм власним наміром, частково йдучи назустріч бажанням інших, я вирішив у ті самі два роки, визначені для викладання філософії, присвятити вільні якісь години і час, що залишається від інших дисциплін, роз’ясненню деяких найважливіших розділів математики. Ми не маємо наміру, та й не передбачається для цього можливості, /5/ викладати математичну науку у повному обсязі, подаємо тільки ті її розділи, які я, наскільки зміг засвоїти їх шляхом самостійного вивчення і читання, не чувши живого слова викладачів, у свою чергу охоче передам іншим, а саме — арифметику та геометрію. Вони ж бо суть перші, але, разом з тим, найширші основи всієї математичної науки: адже від них починаються найскладніші астрономічні розрахунки.

І все, що в математиці точного й дослідженого, зобов’язане своєю точністю цим двом її розділам. А щоб легше було перейти до їх викладу, слід було б, здається, в передмові сказати коротко про назву, зміст і розділи математики. Математика, якщо йдеться про її назву, — слово грецьке, і означає воно грецькою мовою те саме, що й латинською: disciplina, doctrina або scientia 4. Адже назву цю утворено від слів μάθησις або μάθημα, які також означають «знання», «наука». Отже, назва «математика» є спільною для всіх наук, однак арифметика і геометрія та інші споріднені з ними науки називаються математикою внаслідок антономасії 5, або тому, що вони були широко вживані у давніх народів, або тому, що їх докази найясніші і найточніші від усіх інших. Математика — це наука, що розглядає кількість \11\ у матеріальних предметах, або, як вважають інші, — кількість абстрактну (при цьому вони нічого не кажуть, чи знаходиться ця кількість у матеріальних тілах, чи поза ними). Однак іноді одержана у такий спосіб дефініція стосується взагалі всіх математичних наук разом узятих, а не лише арифметики й геометрії, бо й ці останні, оскільки вони є частинами математики, і всі інші її розділи розглядають кількість, що міститься в певних предметах.

А тому перший розподіл математики може бути такий: одні її розділи вивчають кількість абстрактну, інші — конкретну, тобто пов’язану з якимсь певним об’єктом. До першого \12\ виду належать два основні розділи, про які ми вирішили тут /5зв./ розповісти, — арифметика й геометрія. Однак геометрія спеціальна, яка зветься геодезією, розглядає кількість у певному об’єкті. Дехто встановлює також спеціальний різновид арифметики, але про це далі.

До другого виду відносяться: 1) музика, яка розглядає кількість у звуках; 2) оптика, або офтальміка, що вивчає кількість у зорових променях або в зображеннях, що плинуть до наших очей; 3) статика, яка вивчає кількість руху та ваги; 4) географія, що розглядає співрозмірність земного світу і його величину; б) астрономія, яка визначає розміри неба й зарок та їх симетрію.

Та й ці два види знову-таки розподіляються на підвиди. Так, наприклад, другий вид ділиться на три частини: музику, оптику й астрономію. Але як би там не було щодо цих останніх, зараз нам треба зайнятися двома першими розділами. Вони відрізняються один від одного, як і будь-які інші науки, об’єктом дослідження. Оскільки кількість, звичайно, розрізняють неперервну і дискретну, було створено дві найголовніші науки про неї: одна, що розглядає дискретну кількість, — арифметика, друга, що займається безперервною кількістю, — геометрія.

Іншим разом у відповідному розділі ми з’ясуємо їхні назви і суть. Але, щоб наш виклад був ясним і послідовним, ми почнемо з арифметики, яка містить у собі зерна й корені всіх математичних наук взагалі, а потім перейдемо до геометрії. І про кожну з них розповімо в окремих трактатах. Проте, здається, не слід мені мимохіть про. це говорити і довго на цьому зупинятися в передмові, даремно витрачаючи час, нестачу якого ми так відчуваємо, на розв’язання таких не дуже важливих питань, як, наприклад: чи є /6/ ці науки практичними, чи споглядальними і що вони мають за матеріальний, а що за формальний об’єкт, та ін. Я вважаю, що це нічого не додає до пізнання науки і що це можна зрозуміти з самого трактату.

Тому я залишаю ці питання для дискусій іншим, тим, кому до вподоби такого роду вправи в учених суперечках і в кого є для них час /7/ 6. \13\







ПЕРША Й ОСНОВНА ГАЛУЗЬ МАТЕМАТИКИ АРИФМЕТИКА, ЯКА ВИВЧАЄ ДИСКРЕТНУ КІЛЬКІСТЬ, АБО ПРИРОДУ ЧИСЕЛ І ЧИСЛОВІ РОЗРАХУНКИ, ВИКЛАДЕНА В КИЇВСЬКІЙ АКАДЕМІЇ РОКУ ГОСПОДНЬОГО 1707 /8/ ПЕРЕДМОВА  1 НАЗВА, ЗМІСТ, ПРЕДМЕТ І ПОДІЛ АРИФМЕТИКИ, II НЕОБХІДНІСТЬ, ПЕРЕВАГИ ТА РОЗПОДІЛ МАТЕРІАЛУ У ТВОРІ



Грецьку назву «арифметика» латинською мовою можна перекласти словом numeralis, адже походить вона від грецького слова ’άρυθμός, тобто numerus 2. Сама назва свідчить, що це за наука, а саме наука, що вчить добре рахувати. Предметом її є числа, або, якщо б ти спитав, що вважати за її суто формальний об’єкт, як кажуть діалектики, — це числові розрахунки, чи числення.

Але оскільки дискретна кількість, тобто числа, можуть розглядатися двояко: по-перше, як абстрактні, тобто коли йдеться про самі лише числа, відірвані від предметів, в яких вони містяться; по-друге, як конкретні, коли щодо якихось чисел з’ясовується питання, як вони містяться в тих чи інших предметах, — тому й арифметика, аби стати досконалою й завершеною наукою, має бути двоякою — одна, що займається числами абстрактними, називається загальною; друга, яка розглядає числа конкретні, тобто пов’язані з певними об’єктами, називається спеціальною. Однак спеціальна арифметика займається не стільки конкретними числами, що містяться в будь-яких окремих поодиноких предметах або принаймні в їхніх найдрібніших частинах, бо це була б довга і марна робота, скільки вивчає ті числа, що містяться їв об’єктах інших галузей математики, переважно в об’єктах геометрії. Бо, як ми побачимо пізніше, геометричні розрахунки не можуть існувати без арифметичних і виконуються, звичайно, за їх допомогою. Далі слід сказати також про музику, астрономію та інші подібні до них галузі. Хоч загальні правила арифметики, яким підлягають абстрактні числа, самі по собі \14\ цілком достатні для вживання в усіх інших галузях математики, /8зв./ проте для полегшення роботи спосіб їх застосування в кожній з цих галузей має бути своєрідним, і пояснення цих способів подається окремо у спеціальних трактатах.

Я називаю цю, галузь математичної науки [арифметику] основною не тільки з точки зору її давності і прерогативи її засновників. Адже Иосиф 3 свідчить, що творцем її і першим учителем був славетний першопатріарх Авраам 4, найсвятіший з мужів. З того часу і почали вживати арифметику із-за її корисності та необхідності, бо вона, ніби спільна помічниця, встановлює порядок у всіх інших математичних науках: адже всі вони залежать від неї, сама ж вона не потребує допомоги жодної з них. І навіть геометрія, яка, здається, може сперечатися з арифметикою за перше місце, бо й вона є наукою найзагальнішою, повинна віддати їй цілком заслужену першість, тому що сама, без допомоги арифметики не здатна пояснити багатьох своїх правил, що майже всі можуть бути зведені до арифметичних. Отже, арифметика — це ніби двері до всіх інших математичних наук: адже без її засвоєння нікому не можна навіть кроку ступити до дальших глибин науки, та й сама вона спиратиметься на знання своїх власних правил. І тому, якщо хто хоче досягти успіхів у математичних науках, він має докласти всіх зусиль, щоб не зупинитися від утоми на цьому першому порозі, і мусить перебороти свою нехіть до арифметики. Спочатку дійсно трапляються тут деякі невеликі ускладнення, і ці дрібниці дещо виснажують сили, але після того, як ти їх подолаєш, все інше буде легким і приємним.

Увесь трактат, присвячений цій галузі математики, ми розподілимо на три книжки, з яких дві перші присвячуються загальній арифметиці: перша розповість про природу чисел і числення, про поділ їх на види і про способи вивчення різних видів обрахунків; друга — про властивості чисел і числення, які /9/ математики називають відношеннями і пропорціями, при цьому для них будуть зазначені деякі правила. В третій книжці викладатиметься спеціальна арифметика, яка розглядає число в певному об’єкті, переважно в об’єктах геометрії. \15\







Книжка перша

ПРО ПРИРОДУ ЧИСЕЛ І ЧИСЛЕННЯ, ПРО ПОДІЛ IX НА ВИДИ ТА ПРО СПОСОБИ ВИВЧЕННЯ



Щодо об’єктів, які вивчаються будь-якою наукою, потрібно взагалі з’ясувати три питання: перше — що собою являє даний об’єкт в цілому, потім — які він має види. Про перше нам допоможе дізнатися його дефініція, про друге — його розподіл. Після цього ми маємо дослідити його властивості й характерні ознаки. Отже, так само слід робити й з числами і численнями, зберігаючи й тут такий самий потрійний порядок вивчення.

Тому в цій першій книжці ми розповімо про природу чисел і числення та про їх різні види. При цьому ми додамо також деякі правила, придатні як для виконання різних видів числення, або, точніше сказати, для виконання окремих спеціальних видів числення для будь-якого даного числа того чи іншого виду, так і для того, щоб, спираючись на ці правила, можна було довести, що обчислення виконано правильно.

Ці витання розглядатимуться так:




РОЗДІЛИ ПЕРШОЇ КНИЖКИ:


I. Визначення числа, поділ чисел та їхні ознаки, визначення числення і поділ його на просте, порівняльне та інші види.

II. Перший вид порівняльного числення, або алгоритму 1, — додавання.

III. Другий вид алгоритму — віднімання.

IV. Третій вид алгоритму — множення. /9зв./

V. Четвертий вид алгоритму — ділення.

VI. Про дробові числа, або дроби.

VII. Про додавання і віднімання дробових чисел.

VIII. Про множення і ділення дробових чисел.

IX.. Про мішане число, що складається з цілих і дробів. \16\






Розділ перший

ВИЗНАЧЕННЯ ЧИСЛА, ПОДІЛ ЧИСЕЛ ТА ЇХНІ ОЗНАКИ, ВИЗНАЧЕННЯ ЧИСЛЕННЯ І ПОДІЛ ЙОГО НА ПРОСТЕ, ПОРІВНЯЛЬНЕ ТА ІНШІ ВИДИ


Формальним об’єктом арифметики ми вважаємо число як величину, що підлягає численню. Отже, число виступає як матеріал, а числення як форма. Тому необхідно говорити про природу того й іншого, про їхні види та різноманітні властивості і більше про числення, ніж про числа. Бо числення є, як кажуть, об’єкт визначення (ohiectum attributionis), а число — об’єкт визначений (obiectum attributum), і вивчення цього останнього допомагає пізнати, що таке числення.

1. Існують дві дефініції числа: метафізична і математична, яку залишив Евклід 2. За метафізичною дефініцією, «число є кількість, за допомогою якої щось обчислюється», а за математичною — «число є множина, що складається з одиниць». Обидві дефініції зрозумілі самі по собі, проте нам слід розглянути останню, тобто евклідову. Зверніть увагу на те, що, згідно з першим визначенням, числом є також і монада 3, або одиниця, бо вона входить до поняття кількості, і нею теж обчислюються предмети. За другим визначенням, монада не є числом: адже вона не є сукупністю, що складається з одиниць. /10/

2. Математики зазначають, що існує багато різновидів чисел, — я ж подаю тут два основні поділи, знання яких є найнеобхіднішим для засвоєння арифметики.

Перший поділ такий: числа бувають парними або непарними. Парним називається таке число, яке можна розділити на дві рівні частини, як, наприклад, 2, 4, 6 і т. д. І вони знову-таки поділяються на три види: парно-парні, парнонепарні і непарно-парні.

Парно-парним називається таке число, яке може ділитися на дві рівні частини, поки в результаті одержимо одиницю, як, наприклад, 4, 8, 16, 32, 64 і т. д. Бо, якщо розділити 8 на 2, — буде 4, 4 на 2 — 2, 2 на 2 — монада.

Парно-непарним є таке число, яке з самого початку або вдруге, або скільки завгодно разів може ділитися на дві рівні частини, але таке рівноділення припиняється раніше, ніж дійде до одиниці. Наприклад, 24, 20, 10 і т. д., бо, якщо 10 ділити на 2, одержимо б, а 5 вже не може бути поділено на дві рівні частини. \17\

Непарно-парним є число, яке при діленні його на парне число дає непарне, або, точніше кажучи, — ще число, яке може ділитися тільки один раз на дві рівні частини, як, наприклад, 6, 10, 14 і т. д., бо, якщо 10 поділити на 2, — буде 5. Отже, будь-яке непарно-парне число є одночасно парно-непарним, але не навпаки. Ось що треба знати про парні числа.

Непарним числом є число, яке не можна поділити на дві рівні частини, як 3, 5, 7 і т. д. Щоб ти міг легко розпізнати парні та непарні числа, починай з двійки, яка є першим непарним числом, і якщо від неї ти наближатимешся до чимраз більших чисел, то побачиш, що вони йдуть слідом за нею весь час поперемінно, ніби шкутильгаючи, так що парне чергується з непарним, а саме: після першого парного числа, тобто 2, йде непарне 3, а після нього знову парне /10зв./ 4, потім непарне 5 і так весь час. Це правило називають «решетом Ератосфена» 4.

Другий поділ чисел такий: числа поділяються на цілі, дробові та мішані. Цілим є таке число, яким позначають цілий предмет, як 2, З і т. д. Дробове — це число, яким позначають частини цілого предмета, як половина, чверть і т. д. Мішане число — це поєднання цілого з дробовим, як, наприклад, коли ти кажеш: півтора пальма, 6 годин і 3 чверті.

3. Знаки, якими зображуються числа, є довільними, бо залежать від розсуду людей. Давні латиняни для зображення чисел визначили певні літери. Греки і слідом за ними ми, слов’яни, користуємося майже всіма літерами для позначення тих чи інших чисел. Але найпридатнішими для цього є ті, які мають зараз широкий і повсюдний вжиток, а саме:


A

1 2 3 4 5 6 7 8 9 0


Дехто приписує запровадження цих знаків фінікійцям, дехто — індусам, інші — арабам, народові, який колись надзвичайно старанно розвивав цю галузь науки, як взагалі всю науку. Є й такі, що вважають, ніби ці знаки — не що інше, як грецькі літери, зіпсовані переписувачами, і сталося це або через приєднання, як у 2, або внаслідок зміщення, як у 7. І дійсно, вони, як здається на перший погляд, мають якусь схожість.


B

1 2 3 4 5 6 7 8 9

α β γ Δ ε σ ξ η θ


Щодо цього я не буду сперечатися, а хочу тільки пояснити вживання цих знаків. Від першого до дев’ятого — це знаки зі значенням, бо позначають якесь число. Десятий знак, \18\ круглий за формою, який прийнято називати «цифра» 5, сам по собі нічого /11/ не означає, але якщо приєднується до будь-якого знаку зі значенням, то збільшує його значення (приєднувати його треба з правого боку), Так, якщо приєднати його до 3, як, наприклад, 30, то це вже буде означати не три, а тридцять. Так і самі знаки зі значенням: завжди, коли вони з’єднуються один з одним, утворюють уже не прості числа, що складаються з самих лише одиниць, а поєднані з простими одиницями десятки, сотні або тисячі і т. д.

Все число в цілому складається з місць, або ступенів порядку, в якому розміщені знаки 6. Коли ставиться лише один знак, він позначає одну чи багато простих одиниць (простими я називаю ті, найбільше з яких не перевищує число 9), коли ж стоять два або більше знаків, то рахувати їх треба так: перше місце, або ступінь, тобто той, на якому стоїть перший знак, означає прості одиниці, або монади, другий — десятки, третій — сотні, четвертий — тисячі. І якщо ступенів більше, ніж чотири, то четвертий знову будемо вважати першим: адже він означає одиниці тисяч і від нього слід починати як від першого; п’ятий, тобто другий після четвертого, означає десятки тисяч, третій — сотні тисяч, четвертий — тисячі тисяч. І якщо буде ще багато знаків, то знову-таки треба починати з цього другого четвертого і так само просуватися далі. Проте, як само по собі зрозуміло, тільки перший ступінь означає прості одиниці, і тільки другий, що йде після нього, означає десятки простих одиниць, і тільки третій, що йде за цим другим, означає сотні простих одиниць, і знову-таки тільки четвертий означає тисячі простих одиниць. Інші ж перші, другі і т. д., як і цей самий четвертий, або ті, що йдуть після нього, вказують не на прості одиниці та їх поєднання, /11зв./ а на одиниці або десятки, або сотні тисяч, або тисячі тисяч і далі — на одиниці або десятки тисяч тисяч, які прийнято називати мільйонами і так далі.

Однак треба запам’ятати, що рухатись їв цьому ряду-знаків треба не від лівої руки до правої (як ми пишемо літери, тобто елементи мови), а від правої до лівої, можливо, тому, що араби звикли писати в зворотному напрямі, а саме — від правої руки до лівої (якщо вважати, що ці знаки запроваджені арабами). Отже, якщо, наприклад, написано 97, то 7 означає, сім простих одиниць, а 9 — дев’ять десятків, або дев’яносто, і т. д.

А щоб зручніше тобі було йти вперед і щоб ти зрозумів, що являє собою це число в цілому, постав крапку біля четвертого знака вгорі чи внизу, потім біля другого четвертого, і так само роби з кожним четвертим. Або замість крапок постав числові позначення: перше — біля першого четвертого \19\ знака, друге — біля другого четвертого, і далі весь час додавай числові позначення таким чином:


9 1 4 6 7 5 3 4 8 4 2 6 7 3 1 2 5 8


І тоді ти знатимеш, який четвертий знак означає звичайні тисячі, який — тисячі тисяч, який — тисячі мільйонів і т. д.

Якщо ж поміж багатьох знаків є якесь число всередині чи в кінці, яке не можна позначити певним знаком зі значенням, тоді там слід поставити нуль принаймі для того, щоб він займав місце, як, наприклад, у числі, що означає поточний рік — 1707.

Для зображення дробів вживаються ті самі знаки, що й для цілих чисел. Цілі числа позначаються ними так, як ми щойно пояснили, а для позначення дробів ці знаки вживаються інакше, про що буде сказано у розділі шостому.

Крім того, зверни увагу ось на що: якщо одна проста одиниця або сукупність простих одиниць виражена одним знаком, то це число математики називають перст (digitus); якщо ж до /12/ знака зі значенням додається один чи багато нулів, то таке число називається суглоб (articulus); якщо сполучаються два або більше знаків зі значеннями, до яких можуть входити й нулі, тоді це число називається складнею (compositus). Ось що треба знати про природу, розподіл та ознаки чисел. А тепер скажемо про саме числення.

Числення, або рахування, є встановлення значення будь-якого числа, коли ми знаходимо його значення або відносно нього самого, або порівняно з іншими числами. Здебільшого саме такий спосіб знаходження значення чисел і називають численням.

А оскільки всяке число можна розглядати або само по собі, або в порівнянні, зіставленні з іншими, то і числення також буває двояке — просте і порівняльне. Просте числення є таке, що розглядає якесь запропоноване число само по собі і дає уяву про його точне значення. І найзручніше це робити, користуючись числовими позначеннями за вказаним вище способом.

Порівняльне числення, що інакше називається алгоритмом, показує, як з двох або кількох порівнюваних чисел одне відноситься до якогось іншого або в якому взаємному відношенні перебувають всі ці числа. Існує чотири види такого числення, які найбільш відомі і найчастіше вживаються: додавання, віднімання, множення і ділення. Адже чотирма способами можна порівнювати і співвідносити різні числа: або додаючи одне до одного, або віднімаючи одне від одного, або перемножаючи одне з одним, або ділячи одне на одне, \20\ а саме — більше на менше. Цим чотирьом способам співвідношення, зіставлення чисел відповідають зазначені види алгоритму. Однак про кожний з цих видів будемо говорити окремо. /12зв./







Розділ другий

ПЕРШИЙ ВИД ПОРІВНЯЛЬНОГО ЧИСЛЕННЯ, АБО АЛГОРИТМУ, — ДОДАВАННЯ


1. Додавання — це складання двох або багатьох чисел в одне, або знаходження однієї суми, яка міститься в багатьох різних числах. Так, якщо одного дня сплачують 156 флоринів, другого — 6487, третього — 577, то додавання покаже, яка сума цих трьох чисел. Однак слід вказати спосіб, за яким ти зможеш виконувати додавання.

2. Передусім запам’ятай, що взагалі як при додаванні, так і три розв’язанні інших видів алгоритму, завжди слід дотримуватися також трьох послідовних етапів: 1) розміщення, тобто в якому порядку слід розмістити знаки чисел, що підраховуються; 2) виконання дії, тобто, що треба зробити, щоб знайти результат підрахунку; 3) доведення, за допомогою якого доводиться правильність підрахунку.



РОЗМІЩЕННЯ ПРИ ДОДАВАННІ


3. Отже, при додаванні розміщення має бути таке: числа, суму яких шукають, потрібно писати не в одному рядку, а одне під одним, тобто одне вище, друге нижче, а третє ще нижче і т. д. А числові знаки нехай будуть розміщені перпендикулярно у певній відповідності — подібні під подібними, тобто прості одиниці в напрямі одиниць, десятки в напрямі десятків і т. д. Розмістивши їх у такий спосіб, проведи внизу риску.



ВИКОНАННЯ ДІЇ ДОДАВАННЯ


4. Після цього слід переходити до дії, яка виконується так: починай від найменших і спочатку підрахуй суму одиниць, /13/ що розміщені на одній прямій. І цю суму, якщо вона може бути записана одним знаком, напиши під рискою \21\ в напрямі тих простих чисел, які складають дану суму. Якщо ж сума не може бути виражена одним знаком, тобто, якщо вона буде більшою за дев’ять, тоді перший її знак достав під рискою у вказаному місці, чи буде це знак зі значенням, чи нуль, а другий, зі значенням, збережи в пам’яті або запиши на краєчку дошки чи паперу.

Зробивши це, переходь до десятків і склади так само їхню суму; і якщо від попереднього додавання не залишилося жодного знака, то цей єдиний ти й напиши під рискою в напрямі десятків. Якщо ж залишився якийсь знак, то його також додай до цієї суми і все це запиши. Однак, якщо й тут сума складається з двох знаків, — перший слід записати, а другий — запам’ятати. І так само необхідно робити при складанні дальших чисел, тобто сотень, тисяч і т. д.

Після цього таким самим способом треба скласти суму сотень і записати її під рискою, так і щодо тисяч і що б там не було далі.

Якщо одне число буде більше від інших, так що останнім його знакам не відповідатиме жоден знак нижчих чисел, тоді після додавання попередніх, які можна було скласти, треба ті знаки більшого числа, що не мають відповідних собі, написати без всякої зміни під рискою в кінці всієї суми. Коли ж ти одержиш суму всіх чисел, то розмісти на своїх місцях як одиниці, так і десятки та інші знаки, що мають стояти перед одиницями, — і вони обов’язково позначать те, що треба. Однак знай, що, коли в деяких розміщених над рискою числах, але не в усіх, будуть нулі, /13зв./ то їх не слід брати до уваги, а треба складати лише цифри зі значенням. Якщо ж трапиться колись, що в усіх різних, але розміщених на одному перпендикулярі числах в одному й тому самому місці стоять нулі, так що нуль буде і у вищому числі, і в тому, що під ним, і в дальшому нижчому, і всі вони розміщені в тому самому ступені, — тоді в напрямі всіх цих нулів під рискою теж пишеться нуль. Якщо ти будеш виконувати дію згідно з цим правилом, то одержиш суму всіх чисел точно і без помилок.

5. Для зручності обчислювання необхідно знати також номенклатуру кожного виду алгоритму. Так, при додаванні ті числа, суму яких шукають і які пишуться над рискою, називаються доданки; ті, що виражають суму і пишуться під рискою, називаються складня, або просто сума. Наприклад:


Д

6789 — доданки

321

645

7755 — складня, або сума \22\


6. Доведення правильності цієї дії проводиться за допомогою віднімання, а саме: якщо доданки відкидаються по черзі від суми, тобто від складених чисел, і нічого не залишається після цього, — твоє розв’язання правильне. Це доведення грунтується на такому принципі: «Якщо всі частини по одній віднімати від того самого цілого, то нічого не залишається». Але цей спосіб доведення буде зрозумілим тоді, коли ми перейдемо нижче до пояснення того, що таке віднімання.

7. Другий спосіб — не стільки доведення, скільки перевірки 7 — це відкидання /14/ дев’ятки. Робиться це так: відкинь спочатку по одній дев’ятці від доданків і те, що залишиться після віднімання, запиши в іншому місці. Потім відкинь ці окремі дев’ятки від складеного, а те, що залишиться, знову запиши збоку. І якщо різниці від того й другого віднімання будуть однакові, — отже, додавання зроблене правильно. Якщо різниці неоднакові, то й додавання неправильне. Однак цей спосіб перевірки не досить точний і не безпомилковий,

8. Якщо доданків буде дуже багато, то дія з усіма водночас приведе до плутанини. А тому, щоб було зручніше, спочатку склади три або два, потім ще три або два і потім знов так само збери докупи декілька, а тоді вже шляхом додавання склади всі ці суми в одну.

9. Якщо доданки означають предмети різнорідні і до того ж не однакові, а такі, серед яких одні ніби є частинами інших, як, наприклад, одні — золоті, другі — флорини, треті — богеми 8, то починай з найменших і, якщо сукупність їх складатиме якесь більше ціле, то додай його до чисел вищого порядку, і так від вищого йди до ще вищого ступеня, як у такому прикладі:


золоті | флорини | богеми

3650 | 5 | 12

353 | 6 | 17

708 | 3 | 2








Розділ третій

ДРУГИЙ ВИД АЛГОРИТМУ — ВІДНІМАННЯ


1. Віднімання, чи відкидання, — це дія, за допомогою якої менше число віднімають від більшого, щоб одержати різницю. Як, наприклад, якщо хтось тобі винен 3478 золотих і сплатить спочатку 1287, а ти захочеш знати, яка остача, тобто, скільки ще залишилося сплатити. Так ось саме це й покаже тобі віднімання. /14зв./ \23\

2. Розміщення чисел тут таке саме, як і при додаванні, з тією лише різницею, що там можна підписувати як менше число під більшим, так і більше під меншим, а тут слід завжди підписувати менше під більшим. Щодо номенклатури, то більше й менше числа називаються числа, що підлягають відніманню, а те число, яке шукають, — різниця.

3. Дія віднімання відбувається так:


30263486 — числа, що підлягають відніманню

265432

29498054 — така буде їх різниця.


Це робиться таким чином: починай з найменших і відніми перший знак нижнього рядка від першого знака верхнього, а саме 2 від 6, — залишиться 4. Напиши внизу 4. Потім відкинь друге нижнє від другого верхнього — 3 від 8, — залишиться б, і знов це напиши. І так віднімай до кінця. Якщо трапляться два однакові знаки, як на третьому місці даного прикладу, то під ними пишуть нуль. Якщо ж нижній знак перевищує своїм значенням верхній, як на четвертому місці нашого прикладу, тоді нижній не можна відняти від верхнього, як 5 від 3. Отже, кожного разу, як це трапляється, віднімай нижнє число не від того числа, що стоїть у верхньому рядку, а від 10, що існує лише в нашій уяві, і те, що залишиться, додай до верхнього меншого знака, а потім, склавши їх в одне число, запиши його внизу на своєму місці. Бо оскільки б не можна відняти від 3, я віднімаю 5 від 10, — залишиться 5. Додаю це до 3, — одержую 8, що й пишу на третьому місці під рискою 9. Однак, зробивши це, ми маємо додати до наступного нижнього знака 1. Отже, додаю 1 до 6, — буде 7. Переходжу тепер до числа 7, яке треба відняти від 6. Але через те що тут також нижній знак більший, ніж верхній, треба і з ним зробити те саме /15/, що ми робили з попереднім: віднімаю 7 від 10, — залишається 3; додаю З до верхніх 6, — буде 9, і пишу це число. Потім знов так само додаю до наступного числа 7 і одержую в. І тому, що я знов не можу відняти в від 2, віднімаю 8 від 10, — залишиться 2. Склавши це число з вершім 2, одержую 4 і пишу внизу. Хоч і до наступного знака слід було б додати 1, але оскільки в нижньому рядку вже не залишилося жодного змака, я підставляю цю 1 на Дальше місце і маю відняти її від верхнього знака, що стоїть над нею. Але тому, що від 0 не можна відняти навіть 1, я знов віднімаю 1 від 10, — залишиться 9. Додаючи 9 до 0, одержую 9 (бо нуль нічого не додає і не може в даному разі зайняти окреме місце, адже тут, поки відбувається дія, ми повинні всі числа вважати простими одиницями). Отже, пишу під рискою 9. Потім знов \24\ ставлю 1 на останньому місці і віднімаю від останнього верхнього знака 3 — залишиться 2. Пишу це внизу також на останньому місці.

Ця дія виконується досить легко, коли в нижньому рядку стоїть знак менший, ніж у верхньому. Інші роблять це інакше: позичають 1 в наступного знака і додають її вже як цілих 10 до попереднього знака, а від того, що одержали, віднімають нижній знак, як у наведеному прикладі: оскільки 5 не можна відняти від 3, беруть у наступного знака шосту одиницю і додають до 3, — буде 13. Від цього числа віднімають 5 і одержують 8, а від наступного знака 6 залишається вже не б, а 5. І так кожного разу.

Крім того, слід звернути увагу ось на що:

1. Якщо в нижньому й верхньому числах на тому самому місці стоятимуть нулі один проти одного, то і /15зв./ в різниці під ними пишуть нуль. 2. Якщо у нижньому числі стоятиме нуль, а у верхньому проти нього якась цифра зі значенням, то її без зміни слід записати і в рівниці. 3. Якщо верхнє число матиме більше знаків, ніж нижнє, і не буде чого від них віднімати (коли не з’явиться потреба приєднувати одиниці до нижнього), тоді ці верхні знаки без зміни записуються в кінці різниці, як ми радили робити і при додаванні. 4. Якщо треба буде відняти багато чисел від одного, то спочатку склади їх за допомогою дії додавання в одну суму, а потім цю суму відніми від запропонованого більшого числа. Доведення правильності віднімання здійснюється за допомогою додавання: додай різницю до меншого і, якщо їхня сума дорівнюватиме більшому числу, — це свідчить про те, що віднімання зроблено правильно. Доведення грунтується на такому принципі: «Всі частини якого-небудь цілого, складені разом, становлять це саме ціле». Адже різниця і менше число — це частини більшого. Отже, якщо дія віднімання виконана правильно, то, складені разом, вони дадуть більше число. Деякі користуються тут також відкиданням 9, відкидаючи спочатку по 9 від меншого і різниці, потім від більшого.







Розділ четвертий

ТРЕТІЙ ВИД АЛГОРИТМУ — МНОЖЕННЯ


1. Множення є числення одного числа на друге, тобто, коли ми одіне якесь число збільшуємо у стільки разів, скільки одиниць у другому. Як, наприклад, множачи б на 4, я роблю не що інше, як складаю 6 чотири рази, звідки набирається \25\ 24. Отже, множення є ніби багатократне додавання, подібно до того, як ділення можна назвати багатократним відніманням, що цілком ясно кожному, хто уважно до цього придивиться. /16/

2. Множення буває двох видів: просте і окладне. Просте — це воли число, виражене одним знаком, множать на число, що також позначається одним знаком, як, наприклад, б на 4, або навпаки — 4 на 6, так само і 7 на 9, 9 на 8 і коли будь-яке з таких чисел множать само на себе: 3 на 3, 5 на 5, 6 на 6 і т. д. Складне множення — це коли число, виражене багатьма знаками, множать на інше число, виражене або одним, або також багатьма знаками, як, наприклад, коли хочеш помножити 365 на 24 і т. д. Це складне множення цілком залежить від простого: адже його не можна здійснити, якщо ти не знаєш, як помножити просте число на просте, або перст на перст. Тому спочатку я поясню дещо з простого множення,

3. Є деякі персти, які, коли сполучити їх один з одним 10, не перевищують число 10, як, наприклад, 1 і 2, 2 і 3, 2 і 4, а як множити такі персти, дуже легко підкаже сам розум. Адже дійсно, кому важко відповісти, якщо його спитають: «Скільки буде 3, взяте двічі?» Але якщо персти будуть такі, що при з’єднанні перевищують число 10, як 4 і 5, 7 і 9 і т. д., то не так легко збагнути їхнє множення.

Отже, щодо цих останніх чисел слід дотримуватися таких трьох правил.

Перше правило: кожен з двох перстів розбивається на дві або три, або більше частин — рівних чи нерівних. Як, наприклад, коли шукають, скільки буде 7 раз по в; розбий 7 на три частини, — припустимо: 2, 3, 2. Потім ці окремо взяті частини помнож на друге число, як тут: 2 на 8, потім 3 на 8 і знов 2 на 8. Так я пропоную робити з метою полегшення, бо легше сказати, скільки буде 2, взяте 8 разів, ніж 7, взяте 8 разів. Потім, знайшовши результати окремих частин, зведи все до однієї суми, як у запропонованому прикладі: 2, помножене на 8, складає 16; 3 — на те са.ме число 8 /16зв./, дає 24; 2, також помножене на 8, складе 16. Якщо скласти ці числа за допомогою додавання, це становитиме 56. Отже, сім, взяте 8 разів, — буде 56.

Друге правило таке: накресли навхрест дві лінії, під якими внизу проведи пряму, що є ніби їх основою. Після цього над нею ліворуч від проведених навхрест ліній слід розмістити один над одним персти, що перемножаються. Праворуч розміщаються дистанції 11 перстів, які вказують, на скільки одиниць кожен з них віддалений від числа 10. Зробивши це, помнож одну дистанцію на другу (адже це легко), і те, що \26\ти одержав після перемноження, підпиши під нижньою лінією проти тих самих дистанцій. Потім дистанцію одного перста відніми від другого, а різницю підпиши під нижньою лінією, проведеною під цими перстами. І ця різниця разом з першим числом, одержаним після перемноження дистанцій і розміщеним у протилежному напрямі, покаже, що ми одержали після перемноження перстів (див. приклади [рис. 1]) 12.




Рис. 1


Третє правило містить у собі таблиця, яку називають лічильною дощечкою (таблицею) Піфагора [рис. 2] 13. Вона складена напрочуд майстерно, є цілком тонною і при тривалому користуванні допомагає легко й швидко множити один будь-який перст на другий. /17/


1


2


3


4


5


6


7


8


9


10


2


4


6


8


10


12


14


16


18


20


3


6


9


12


15


18


21


24


27


30


4


8


12


16


20


24


28


32


36


40


5


10


15


20


25


30


35


40


45


50


6


12


18


24


30


36


42


48


54


60


7


14


21


28


35


42


49


56


63


70


8


16


24


32


40


48


56


64


72


80


9


18


27


36


45


54


63


72


81


90


10


20


30


40


50


60


70


80


90


100


Рис. 2


Користуються цією таблицею так: один перст із запропонованих шукай у верхньому рядку, а другий — у рядку збоку, першому зліва. Потім від однієї і другої клітинок йди по прямих лініях кліток, спускаючись згори вниз і просуваючись зліва направо. Ці лінії зійдуться, бо вони спрямовані навхрест. Отже, дивись, в якій клітинці вони зустрінуться, і знай, що написане в ній число і буде тим, що ти шукаєш, — , результатом, одержаним від множення перстів. /17зв./

4. Тепер розглянемо, в який спосіб здійснюється складне множення, в якому, як і в інших видах обчислень, треба знати розміщення, виконання дії і доведення. Розміщення тут таке саме, як при додаванні, оскільки і в даному разі для полегшення більше число ставиться вгорі, а менше — внизу. Можна, щоправда, перемножати їх і навпаки, у зворотному порядку, але легше множити більше на менше. \27\

Більше число називається множене, менше — множник. А те число, що ми одержуємо після множення, — добуток, або продукт, або помножене, або здобуте  14. Розмістивши ці числа за вказаним способом, треба провести внизу риску.

5. Що ж до самої дії, то вона виконується різними способами, бо множник іноді складається з одного простого знака, а іноді з багатьох. І якщо множник складається з простого знака, як, наприклад, коли ти хочеш довідатися, скільки днів у семи роках, то тут множеним буде число днів одного року, тобто 365, а меншим числом, тобто множником, — число років, а саме 7, що складається з одного знака. В цьому і у всіх подібних випадках окремі знаки, з яких складається множене число, треба перемножити на множник, починаючи з менших, що стоять праворуч, і одержані після цього результати слід записати лід нижньою лінією в тому самому напрямі. При цьому вони записуються повністю, якщо це прості числа; якщо ж вони подвійні, тобто виражені двома знаками, тоді один, менший знак, пишеться, а другий, більший, зберігається в пам’яті (як ми це вчили робити ори додаванні). Так, у запропонованому прикладі помнож спочатку 5 на 7, — буде 35: 5 пиши, а 3 запам’ятай; потім помнож 6 на 7, — буде 42, і якщо ти додаси до цього 3, яке запам’ятав раніше, то одержиш 45: 5 пиши, а 4 /18/ знов запам’ятай; тоді 3 помнож на 7, — вийде 21, а разом з тими чотирма, що ти запам’ятав, буде 25. Це знов запиши — і ось маєш результат: 2565, тобто стільки днів у семи раках.


дні 365

роки 7

2555


Якщо множник також складається з багатьох знаків, тоді кожен його знак слід перемножити з кожним знаком множеного числа і результати всіх цих дій записати окремо один під одним, але так, щоб результат, одержаний від множення першого знака, правим своїм боком був звернений 15 до цього першого, результат від множення другого знака своїм початком або правим боком був звернений до другого знака, результат від множення третього знака — до третього і т. д. Потім усі ці добутки за допомогою додавання зводяться до однієї суми. Наприклад, ти хочеш довідатися, скільки годин містить один рік, і міг би помножити число годин одного дня на число днів усього року або навпаки, бо це однаково. Отже, оскільки днів у році 365, а годин у кожному дні 24, помнож окремі знаки більшого числа днів на окремі знаки меншого числа годин, і спочатку 5 на 4 — буде 20, напиши під рискою 0, а 2 запам’ятай, як ми радили вище. Після цього помнож 6 на 4, — буде 24; якщо ж додати 2, що та запам’ятав, — буде 26; 6 пиши там же, трохи ліворуч, а 2 знов запам’ятай. Потім помнож 3 на те саме 4, — буде 12, а додав\28\ши 2, що ти запам’ятав, одержиш 14 — і це допиши до попередніх знаків зліва. Таким чином, ти вже перемножив все більше число на один знак множника і одержав добуток 1460. Зробивши це, знов помнож таким самим способом кожен знак множеного числа /18зв./ на другий знак множника, тобто на 2, звідки одержиш другий добуток 730. Його підпиши під першим так, щоб 0 цього останнього добутку стояв не під 0 першого, а під знакам 6, тобто, щоб він був якраз під своїм множником. І, нарешті, ці два добутки з’єднай в один шляхом додавання і одержиш 8760, тобто стільки годин містить у собі один рік, якщо не враховувати тих 6, які щорічно наростають, як твердять астрономи.


365 — дні

24 — години

1460

730

8760


Щодо нуля слід дотримуватися таких правил:

Перше правило. Якщо нуль стоятиме у множеному, то сам він не може бути помноженим на жодне число, бо, коли ти візьмеш ніщо скільки завгодно разів, то й одержиш ніщо. Отже, і в добутку, на місці, що стоїть проти нуля, ставиться нуль, якщо не буде нічого іншого, що могло б зайняти його місце. В протилежному випадку писати його не треба.

Друге правило. Якщо нуль стоятиме у множнику, то на нього нічого не можна множити; адже ніщо не множить і не множиться. Отже, верхнє число слід множити тільки на цифри зі значенням, а нуль має лише займати належне йому місце.

6. Подаємо, крім того, правила скороченого множення, яких існує чотири:

1) якщо якесь число треба помножити на 1, то воно в тому самому вигляді, без зміни, пишеться у добутку, бо 1 не помножає;

2) якщо якесь число треба помножити на суглоб і останньою цифрою зі значенням суглоба є 1, то нічого не треба робити, а лише дописати до множеного числа стільки нулів, скільки їх було в тому суглобі. Як, наприклад, коли 368 ти хочеш помножити на 10, /19/ допиши до множеного числа, не змінюючи його, один нуль — буде 3680. Якщо те саме число ти хочеш помножити на 100, допиши до нього два нулі, — буде 36800, якщо на 1000, допиши три нулі і т. д.;

3) якщо треба помножити число на суглоб, цифра зі значенням якого більша за 1, то помнож тільки на цю цифру і потім до добутку допиши стільки нулів, скільки їх було в суглобі. Наприклад, якщо хочеш помножити 368 на 30, \29\ помнож тільки на 3 — буде 1104, а коли до цього потім дописати 0, — вийде 11 040. Так само треба робити, якщо в кінці множника буде багато цифр зі значенням, а на початку — один або кілька нулів;

4) якщо у множнику якась цифра повторюється двічі, тоді добуток першої постав також під другою без повторення дії, бо те саме завжди дає те саме.

Перевірка і доведення правильності множення здійснюється звичайно шляхом відкидання дев’яток: спочатку їх відкидають від множника і множеного, а потім від добутку, проте ця перевірка вважається не досить точною 16. Найточнішою є перевірка за допомогою наступного виду алгоритму — ділення, бо, якщо, поділивши добуток на множник, ми одержимо множене, значить множення виконано правильно. Отже, перш ніж перевіряти множення, необхідно навчитися ділити.







Розділ п’ятий

ЧЕТВЕРТИЙ ВИД АЛГОРИТМУ ДІЛЕННЯ


Цей вид алгоритму найбільш досконалий і корисний. Ділення, ніби єдина й головна помічниця, вірно служить у розв’язанні всіх питань геометрії, так що ти навіть не сподівайся заслужити ім’я /19зв./ геометра 17, якщо не вмітимеш добре ділити. Але оскільки ця справа вимагає довгого й упертого тренування, то ледарям і людям, які уникають труднощів, вона здається такою важкою і заплутаною, що більшість тих, хто звертається до вивчення арифметики, просто впадає у розпач і відступає від неї, коли доходить до ділення. Проте тут немає майже ніяких труднощів, крім того, що дія ця трохи складніша від інших, бо при виконанні її слід часто вживати всі три попередні види числення. Отже, ця справа вимагає лише тривалого тренування: протягом трьох, не більше, днів виробиться певна звичка, і ділення буде для тебе дуже легким. Оволодівши ним, ти ніби подолаєш всі стрімкі й вибоїсті шляхи, і все останнє буде здаватися тобі рівним, легким і приємним.

1. Отже, розділити — значить розбити будь-яке число на скільки завгодно рівних частин. Наприклад, якщо хочеш 10 розділити на 5, а 100 на 10 рівних частин. Тут також виступають два числа: одне, яке треба розділити, друге, на яке Ділять. Перше завжди мусить бути більшим, друге — меншим \30\ або, принаймні, обидва мусять бути однаковими, бо менше на більше не можна розділити. Адже весь процес ділення полягає в таму, що ми знаходимо, скільки одиниць більшого числа відповідає окремим одиницям меншого або скільки частин більшого числа складає число, рівне кількості простих одиниць меншого. Наприклад, розділивши 10 на 5, я знаходжу, що 2 міститься в 10 п’ять разів, тобто стільки, скільки одиниць у числі 5.

Потрібно розглянути тепер розміщення, дію і перевірку ділення.

2. Розміщення має бути таким: постав більше число вгорі, менше — внизу, але /20/ під першим знаком більшого числа, якщо рахувати від лівої руки до правої, й під останнім, коли йти навпаки — від правої до лівої, яро що було сказано вище, коли розглядалися попередні види числення. Більше число називається ділене, а менше — дільник. Потім праворуч від них накресли дужку, або криву лінію, ось так:


ділене 567

(189

дільник 3


Поза цією лінією ставиться шукане число. Однак розміщати числа таким чином можна лише тоді, коли знаки, з яких складається дільник (навіть якщо це буде один знак, як у наведеному вище прикладі), будуть кількісно менші або рівні відповідним останнім знакам діленого. Коли ж дільник, буде кількісно більший, ніж відповідні останні знаки діленого, тоді останній знак дільника, якщо навіть це буде лише один знак, слід ставити не під останнім знаком діленого, а під передостаннім, як, наприклад, коли маємо розділити 247 на дільник 5, то 5 слід ставити не під 2, а під 4. А якщо дільник складатиметься з багатьох знаків, як, наприклад, коли те саме число 247 треба розділити на 56, тоді 5 постав під 4, а 6 під 7.

3. Сама ж дія відбувається так. Якщо дільник складатиметься з одного знака і буде менший, ніж відповідний йому останній знак діленого, під яким він якраз стоїть, як у попередньому прикладі — 3 під 5, або якщо він буде рівний йому, опитай самого себе, скільки разів цей знак дільника міститься у верхньому більшому знаку, що стоїть проти нього, тобто, скільки 3 у 5, і оте знайдене «скільки» (quoties) напиши поза дужкою. А оскільки 3 у 5 міститься один раз, то й постав поза дужкою 1. Ось чому число, яке ми шукаємо й одержуємо за допомогою ділення, прийнято називати квотієнт 18. Потім помнож квотієнт /20зв./ на дільник, і число, одержане після множення, постав під цим самим дільником, однак ла певній відстані внизу так, щоб залишилося місце для того, \31\ щоб закреслити і знов написати дільник. Число, поставлене під дільником, відкинь за допомогою віднімання від усієї тієї частини діленого, яка стоїть проти дільника, а різницю запиши поверх діленого на своєму місці, закресливши, як це буває при відніманні, знаки діленого, від яких ти віднімав. Проте тут зверни увагу на одне правило, що полегшує і скорочує обчислення: якщо квотієнт буде 1, тоді не треба множити на нього дільник, бо вийде той самий дільник, а слід відняти цей дільник від діленого, як у попередньому прикладі, бо 3 тільки один раз міститься у 5, — отже, квотієнт буде 1. На нього я не множу 3, бо буде те саме число 3, а віднімаю 3 від 5, — залишається 2, що й пишу під цифрою 5, а 5 закреслюю. Зробивши це, закресли дільник, потім перейди до наступного знака діленого і знов шукай, скільки разів міститься той самий дільник у цьому другому знакові. Квотіент запиши поза дужкою після першого, вже записаного знака, потім знов помнож на нього дільник, а добуток так само постав під дільником і відніми від діленого, як було сказано раніше. Так роби, принаймні, доти, поки від останнього знака діленого після віднімання нічого не залишиться і знак цей зникне. Якщо ж що-небудь залишається, як у попередньому прикладі, коли при відніманні 3 від 5 залишається 2, що пишеться на тому самому рівні над закресленим 5, тоді далі треба шукати, скільки разів міститься дільник не у знаку, що стоїть прямо над ним, а в числі, що складається зі знака, розміщеного над дільником, і другого, який стоїть /21/ після нього і який був різницею попереднього останнього знака, як у даному прикладі: після відкидання З від 5 залишається і записується 2, потім я ставлю 3 під 6, що є другим знакам діленого, і питаю, скільки разів 3 міститься не у 6, а скільки разів воно міститься у 26. Необхідно при цьому звернути увагу ось на що: якщо квотієнт буде менший за число 9, він має весь писатися поза дужкою; якщо більший, то весь не пишеться, а замість нього слід писати 9, бо квотієнт ніколи не повинен перевищувати 9, як у даному прикладі. Коли у другій дії (адже в діленні стільки дій, скільки знаків у діленому) я питаю, скільки разів З міститься у 26, і знаходжу, що 3 міститься тут вісім разів, я пишу 8 повністю. Якби стояло питання, скільки разів З може знаходитися у 33, і ти відшукав би, що 11, то ти не зміг би написати на місці квотіента одразу 11, бо писати можна не більше 9.

Крім того, зверни особливу увагу ось на що: якщо б після віднімання два або декілька знаків діленого навіть повністю зникли, так що нічого після них не залишилося, дільник, проте, не може подолати всю цю відстань, що лишилася \32\ порожньою, аж до цифр зі значенням, але весь час він відсувається на один, ступінь і затримується. І оскільки у діленому не буде частини, в якій дільник містився б хоч один раз, то замість окремих порожніх ступенів поза дужкою пишуть нулі. Як, наприклад, якщо 2012 треба розділити на 2, я ставлю дільник 2 під останнім знаком діленого 2 і питаю, скільки 2 міститься у 2. Бачу, що один раз, і лишу поза дужкою на місці, призначеному для квотієнта, 1. Тоді, не множачи 2 на квотієнт, бо вийде те саме число, відкидаю дільник від 2, — нічого не залишається. Переходжу потім до 2, що стоїть далі на один ступінь, і ставлю її під нулем, — і ось тому, що 2 /21зв./ не міститься у 0 жодного разу, пишу у квотієнті 0. Те саме роби завжди, коли після першої дії ти переносиш дільник далі і він має над собою не лише О, а навіть якусь цифру зі значенням, проте меншу за нього, як у попередньому прикладі. Після першої і другої дій, коли я переношу дільник далі через один ступінь після 2 і доходжу до 1, в якій 2 не міститься жодного разу, я знов пишу О поза дужкою і після цього вже знав продовжую ділити, Однак дотримуйся ще й такого правила: якщо дільник, помножений на квотієнт, буде більший, між частина діленого, що стоїть напроти нього, тоді цей квотієнт треба зменшити на 1, і це треба робити стільки разів, поки дільник, помножений на квотієнт, стане меншим, ніж розміщена проти нього частина діленого, або дорівнюватиме їй.

Якщо, ділячи, множачи й віднімаючи у такий спосіб, ти дійдеш, нарешті, до тершого знака діленого і відшукаєш його співвідношення з дільником, то тоді вже більш нічого не треба робити, і квотієнт, записаний поза дужкою, буде одержаний за допомогою ділення шуканим числом. І якщо після останнього віднімання нічого не залишиться, — отже, ділене число повністю розділилося на стільки рівних частин, скільки було одиниць у дільнику, як у першому прикладі: 567, розділене на 3, дає 189, тобто, якщо б 567 золотих «одарували трьом особам, то кожен одержав би по 189 золотих і нічого не залишилося б. Якщо ж після останнього віднімання щось залишається, то подивись, чи це буде число, менше за дільник, чи більше: якщо менше, то це остача після ділення, яка не може бути розділеною на дільник без допомоги дробів, про що ми розповімо нижче; якщо це буде число, більше за дільник, то знай, що ти помилився у виконанні дії і слід повторити й поновити весь /22/ процес ділення.

Досі йшлося про дільник, що складається з одного знака. Однак, якби він складався з багатьох знаків, то і з ним треба робити те саме, тільки тут слід звернути увагу ще на деякі особливості. Перше: чи весь дільник в цілому менший від \33\ знаків діленого (не «ід усіх, а тільки від тих, що стоять проти нього), чи, принаймні, рівний їм. Бо якщо дільник більший, то весь він має бути переміщений на один ступінь праворуч. Потім не треба шукати, скільки разів весь дільник міститься у частині діленого, що стоїть проти нього, а поміркуй, скільки разів один лише останній знак дільника може вміститися в останньому знаку діленого або у двох останніх, якщо останній знак діленого буде менший за останній знак дільника. Цей знайдений з одного лише останнього знака дільника квотієнт запиши поза дужкою і помнож його на окремі знаки дільника. Одержане після множення число підпиши під дільником і відніми від діленого так, як ,ми зазначили раніше. Після цього весь дільник пересунь на один ступінь далі і дотримуйся тих правил, які ми описали вище. Коли ж перший знак дільника стоїть уже під першим знаком діленого, тоді після знаходження квотієнта, перемноження його і відкидання нічого більше робити не треба, бо воя дія на цьому завершується. Оце й є асі правила і зауваження, яких треба дотримуватися при діленні. Отже, я не помітив нічого такого, про що б тут не було сказано і що б становило якісь труднощі для того, хто виконує цю дію. Тільки, як я попередив, справа ця потребує тривалого й систематичного тренування, і тоді вона, як виявиться, не вимагатиме ніяких зусиль.

4. Однак ти запитаєш, як можна так легко довідатися, скільки разів якийсь перст міститься у будь-якому суглобі, або складному числі: адже тут ставиться завдання відшукати це число 19, а спосіб відшукання не вказується, хоч зробити це і не так легко. Всі ці труднощі можна подолати за допомогою таблиці Піфагора, описаної в попередньому розділі. Робиться це так: перст /22зв./ — дільник, про який ти запитуєш, скільки разів він міститься в суглобі, або складному числі, відшукай у верхньому рядку таблиці. Потім, спускаючись від нього по прямій лінії, знайди даний суглоб, або складне число. Після цього відступи від нього назад ліворуч, і перст, який ти побачиш зліва у напрямі вказаного числа, буде шуканим квотієнтом. Якщо ж ти не знайдеш у таблиці потрібного тобі суглоба, або складного числа, бери те число, яке в таблиці буде найближчим меншим від нього. І від цього числа так само просувайся ліворуч. Так, наприклад, якщо ти хочеш відшукати, скільки разів 6 міститься у 35, і не знайдеш у таблиці числа 35, розміщеного під 6, то бери число 30, яке в таблиці є останнім меншим від 35, бо число, що йде далі, — 36, уже більше за нього. Прямуй тепер від 30 ліворуч і знайдеш 5 — це й є шуканий квотіент. І дійсно, 6 у 35 міститься п’ять разів. \34\

5. Спосіб скороченого ділення є лише один, і він дуже легкий: якщо будь-яке число треба розділити на такий суглоб, в якому останнім знаком є лише одна одиниця, а всі інші — нулі, відкинь від діленого з правого боку стільки знаків, скільки нулів у суглобі — дільнику; ті знаки, що залишаються ліворуч, позначають шуканий квотієнт, ті, що ти відкинув з правого боку, — остачу від діленого, яка не. може бути розділена на даний дільник. Як, наприклад, коли ти хочеш знати, у який спосіб можна розділити 659 783 на 100, відкинь зправа знаки 83, і квотіент буде 6597, а остача 83.

6. Доведення і перевірка правильності ділення здійснюється за допомогою множення: помнож квотіент на дільник і вийде ділене, якщо ділення виконано правильно. Якщо після ділення залишиться якась остача, то її слід додати до добутку, одержаного від множення квотієнта на дільник. Доведення /23/ грунтується на такому принципі: «Якщо якесь ціле число ми ділимо на певну кількість частий і потім стільки ж частин з’єднуємо разом, то вони знову складуть те саме ціле число». Адже ділене ми розділили на стільки частин, скільки одиниць має дільник, і на такі великі, які позначені квотієнтом. Отже, якщо їх помножити на дільник, тобто зібрати в єдине ціле, то вони в цілому складуть ділене число.







Розділ шостий

ПРО ДРОБОВІ ЧИСЛА, АБО ДРОБИ


Досі йшлося про цілі числа, тепер слід сказати дещо і про дробові числа, або дроби. Дробовим числом ми називаємо таке, яке позначає якісь частини цілого, як, наприклад, половина, що означає половину цілого, чверть, тобто четверту частину, три чверті і т. д. Про дробові числа треба знати приблизно те саме, що ми вже зазначили щодо цілих і, звичайно, передусім, як і якими знаками позначаються дроби, або дробові числа. Потім потрібно сказати, як розпізнавати їхнє значення і яким способом можна звести їх або до цілих чисел, або, якщо це будуть дроби дробів, як звести їх до простих дробів. Далі ми зауважимо також і про деякі інші особливості та властивості дробових чисел. Про все це ми розповімо в цьому розділі, а про те, як відбуваються дії з дробами в різних видах алгоритму, тобто при додаванні, відніманні, множенні та діленні, скажемо в наступних розділах. \35\

1. Передусім, необхідно відзначити, що існує такий поділ дробових чисел, за яким одні дроби називаються простими (це ті, що означають частини цілого числа), а інші називаються дробами дробів (ті, які означають частини простих дробів), щоправда, ці останні вживаються рідше. Можуть бути також і дроби дробів дробів, бо що завгодно може ділитися на частини і. на частини /23зв./ частин і на частини частин попередніх частин.

2. Прості дроби записуються двома цифрами, розміщеними одна під одною, між якими проводиться рисочка. Верхня цифра називається чисельником, нижня — знаменником. Знаменник показує частини, на які розбивається ціле, як, наприклад, чверті або третини, або інші; чисельник вказує, скільки є таких частин, як, наприклад, три чверті, дві чверті, п’ять четвертих і т. д. Так само пишуться 3/7 — три сьомих, 6/4 — шість четвертих і т. д.

3. Для того щоб зручніше було називати дроби і сприймати їх на слух, запам’ятай, що чисельник має бути виражений кількісними числівниками, а знаменник — порядковими: 3/4 — три четвертих, 4/3 — чотири третіх, 8/10 — вісім десятих і т. д.

4. Дроби дробів пишуться чотирма цифрами: двома верхніми і двома нижніми, і так само між ними ставиться рисочка. З цих чотирьох цифр перші дві, що стоять праворуч, позначають прості дроби, останні дві, розміщені ліворуч, вказують дроби або частини попередніх простих дробів. Так, наприклад, 3/4|1/2 — це три чверті 1/2, тобто половини; 5/3 | 6/4 — це п’ять третин 6/4. А якщо це будуть дроби дробів дробів, тоді слід писати аж до шести знаків, як, наприклад, 3/4 | 2/3 | 6/7 тобто три чверті 2/3, і т. д. 20.

5. Про значення дробів довідуються зі знаків, якими вони записані. Дроби, між іншим, за своєю величиною можуть дорівнювати цілому: так, наприклад, 4/4 частини — це те саме, що й цілий предмет. Іноді навіть вони перевищують ціле, як 6/4. Щоб легше було пізнати їхнє значення, дотримуйся таких правил: 1. Якщо чисельник дорівнюватиме знаменникові, то дробові числа, або дроби, рівні цілому числу, як, наприклад, 4/4 /24/. Бо коли ти розділиш будь-яку річ на чотири частини і візьмеш вісі чотири, ти одержиш ціле. 2. Якщо чисельник буде більший за знаменник, то дріб буде більший від цілого і більший на стільки одиниць, на скільки чисельник перевищує знаменник, як, наприклад, 9/4 — це дві цілих одиниці і 1/4. 3. Якщо чисельник менший від знаменника, то дріб буде менший за одиницю, і менший на стільки, на скільки \36\ одиниць знаменник перевищує чисельник, як 3/6, бо коли будь-яка річ розділяється на шість частин, і з них ми беремо лише три, то ми взяли менше, ніж усю річ, і менше на три одиниці: адже на стільки 6, тобто число, що виступає тут як знаменник, перевищує 3, число, що є чисельником.

6. Зверни увагу також на те, що коли йдеться про дроби якогось цілого, то це дробове число часто становить для нас труднощі, бо нелегко уявити собі, що саме означають ці дроби або якою назвою їх слід позначити. Цим труднощам можна запобігти таким чином: уяви собі якісь, що мають певну назву, частини запропонованого цілого, котрих, проте, буде не менше в цілому числі, ніж даних дробів, а стільки ж або більше. Потім помнож на число цих частин запропонований чисельник і добуток розділи на знаменник, — одержана частка дасть певне і відоме тобі дробове число. Так, коли йдеться про монету в 4/6 імперіала, подумай хоч би про те, скільки секстинів в одному імперіалі, і коли ти побачиш, що в імперіалі їх 15, помнож 15 на 4, — вийде 60. Розділи це на 6, — одержиш частку 10. Отже, ти можеш сказати, що 4/6 імперіала — це ніщо інше, як 10 секстантів. Якщо ж після ділення щось залишиться (візьмімо для прикладу 6/4), то цю остачу постав замість чисельника над тим самим знаменником, і чисельник позначить, що залишилося стільки частин однієї з тих взятих певних частин і такі, які називає даний знаменник. /24зв./

А оскільки тут залишилося б 2 (адже запропонований знаменник тут 4), то це означає, що в остачі дві чверті частини 1/9, тобто цілий секстант, згідно з першим правилом, поданим вище у підрозділі. 5. Як і чотири шостих — 4/6 одного імперіала — це те саме, що й 10/6 — десять секстантів 21.

7. Тепер познайомимося із способами зведення дробів. Зведення дробів є не що інше, як перетворення одного дробового числа в інше — або дробове, або ціле.

Існує шість способів зведення дробів. 1-й. Дроби дробів звести до простих дробів. 2-й. Будь-які дроби звести до меншого числа. 3-й. Дроби, що є більшими за ціле, звести до цілого. 4-й. Цілі числа звести до їх дробів. 5-й Цілі числа, змішані з дробами, звести до однорідних дробів. 6-й. Дроби різного найменування звести до інших одного й того самого найменування. Для кожного з цих видів зведення є свої окремі правила. Подаємо їх. \37\




ЗВЕДЕННЯ ДРОБІВ ДРОБІВ ДО ПРОСТИХ ДРОБІВ


8. Кожного разу, коли трапляються дроби дробів, зведи їх до простих дробів, щоб своїм незначним розміром і складністю вони не приводили тебе до плутанини.

Роби це так: помнож перше верхнє число на друге і, якщо чисел буде багато, помнож знов на третє і так до останнього. Потім те саме зроби з нижніми числами, які є знаменниками. Нехай буде 3/4 трьох других 3/4|3/2. Помнож 3 на 3, — буде 9, потім 4 на 2, — буде 8. Отже, пиши 9/8, бо коли маєш три чверті 3/2 — це, очевидно, те саме, що й 9/8.





ЗВЕДЕННЯ ДРОБІВ ДО НАЙМЕНШОГО ЧИСЛА


9. Коли дроби дуже громіздкі, так що і чисельник, і знаменник треба писати багатьма цифрами, то це знову-таки дуже- незручно для виконання дії. Отже, зведи ці громіздкі дроби до простіших або до самого найменшого числа, яке тільки може бути, але щоб воно дорівнювало /25/ тим числам, що виражені багатьма цифрами. Зроби це так: якщо чисельник буде більший за знаменник, тоді дроби мають бути зведені до цілих, про що скажемо пізніше; якщо ж чисельник буде менший за знаменник, то відніми менше від. більшого, закресливши те число, від якого ми віднімаємо; після цього знов знайдене менше відніми від більшого і роби це стільки разів, поки одержиш два рівні числа. Потім розділи на таке число кожну з двох частин дробів і частки розмісти одну над одною (частку чисельника над часткою знаменника), — так ти знайдеш найменше число, рівнозначне тим громіздким дробам 22. Візьмімо, наприклад, 27/81 Я хочу позначити це меншим числом: віднімаю 27 від 81 — залишається 54, від цього знов віднімаю 27, — залишається 27. Отже, це й є число, на яке мають ділитися як 27, таж і 81; часткою від першого ділення буде 1, від наступного — 3. Розмасти це так: 1/3, тобто 27/81 рівнозначні 1/3.

Якщо таким способом віднімаючи числа одне від одного, доходять до 1, то знай тоді, що далі дроби не можуть бути зведені до чисел, менших, ніж ті, якими позначені, як, наприклад, 37/56 23.

Дотримуйся тут також двох правил, що скорочують і полегшують дію. 1-ше. Якщо чисельник складається з багатьох, але однакових цифр, і так само знаменник, то склади спочатку цифри чисельника одну з одною, потім одну з одною цифри \38\ знаменника, — одержані результати дадуть рівнозначний першому дріб. Наприклад, 33/66. Додай 3 до 3, — буде 6, потім 6 до 6 — буде 12. Отже, пиши 6/12 — шість дванадцятих, які мають таке саме значення, як і 33/66 — тридцять три шістдесят шостих 24. 2-ге. Якщо чисельник і знаменник мають на початку 25 нулі, то нічого не слід робити, як тільки відкинути від них ці нулі, але порівну від кожного. Так, 300/600 мають таке саме значення, як 3/6, а 470/500 є не що інше, як 47/50.

10. Якщо чисельник буде більший за знаменник, тоді зведи дані дроби до цілих чисел таким чином: розділи чисельник на знаменник, частка позначить ціле, як, наприклад, 12/4; розділи 12 на 4, — вийде 3, тобто 12/4, — це те саме, що й 3 цілих. /25зв./ Якщо ж після цього ділення залишиться остача, тоді цю остачу постав над тим самим знаменником і частка позначить цілі числа, а остача буде чисельником дробів, що мають той самий знаменник; наприклад, 15/4; розділи 15 на 4, — буде 3 і залишиться 3, отже, пиши 3¾, тобто три цілих і три четвертих — це те саме, що 15/4.

11. Якщо ти схочеш багато будь-яких цілих чисел розділити на як завгодно великі частини, як 6 десятків на 5 або 6, або на іншу кількість частин, то помнож ціле на те число, що називає частини, на які ти хочеш розділити. Число, що ти «держиш після множення, постав угорі замість чисельника, а інше число, що позначає частини, підпиши нижче замість знаменника. Наприклад, 6 десятків я хочу розділити на частини — множу 6 на 3, — буде 18, і це розміщую так: 18/3 — вісімнадцять третіх 26.

12. Якщо цілі з’єднуються з дробами, то зведи їх до однорідних дробів так: помнож ціле число на знаменник приєднаного до цього дробу і добуток додай до чисельника, що має той самий знаменник. І все одержане після цього числа постав замість чисельника, а внизу напиши той самий знаменник. Нехай буде 8 і 3/6, помнож 8 на 6, — буде 48, додай до цього 3, — вийде 51, розмісти це так: 51/6. Найчастіше вживається таке зведення при застосуванні золотого правила, щоб прискорити і полегшити дію.

13. Якщо тобі трапляться кілька різнорідних дробів з різними знаменниками, як, наприклад, один дріб 3/4 і другий 3/5, зведи їх до однієї назви 27 таким чином: спершу помнож знаменник одного дробу на знаменник другого, як в даному прикладі 4 на 5, — буде 20. Це й є спільний знаменник для обох дробів. Потім помнож чисельник одного дробу на знаменник другого і навпаки. Числа, одержані від такого взаємного перемноження, зроби чисельниками цих дробів, як в даному прикладі: 3, помножене на 5, дає 15, — отже, пиши 15/20. Це становитиме стільки, скільки 3/4. Так і друге 3 по\39\множ на 4, що дасть 12, і напиши це так: 12/20. Цей дріб має те саме значення, що й /26/ 3/5. Робити це слід для того, щоб ти міг додавати дроби один до одного або віднімати один від одного, або множити, або ділити, бо різні за назвою або значенням предмети ми не можемо скласти або перемножити, не зводячи їх до однієї й тієї самої назви й значення.







Розділ сьомий

ПРО ДОДАВАННЯ І ВІДНІМАННЯ ДРОБОВИХ ЧИСЕЛ


Отже, ми розповіли про різні види дробових чисел, їх значення та їх зведення, або перетворення. Тепер слід сказати про виконання різних дій з дробами, тобто про те, як треба їх додавати, віднімати, множити й ділити. Тут я, передусім, звертаю твою увагу на те, що, коли ти хочеш скласти дробові числа або відняти їх одне від одного, подивися раніше, чи мають вони однаковий знаменник, бо, якщо знаменники різні, їх слід одразу ж звести до одного й того самого знаменника за способом, вказаним в попередньому розділі під номером 13. Після цього дія не становитиме ніяких труднощів, а в протилежному випадку буде велика плутанина, хоч дехто рекомендує виконувати ці дії без такого зведення.

1. Отже, додавання дробових чисел відбувається так само, як і цілих чисел: чисельник одного дробу додай до чисельника другого — от і все, що маєш зробити, а знаменник напиши той самий, що був спільним для обох дробів, і не треба його зовсім обчислювати, нібито немає тут ніякого числа. Але так буде, якщо, нагадую знов, обидва дроби матимуть однакові знаменники. Наприклад, ти хочеш скласти 3/7 | 4/7 | 9/7. Склади чисельники один з одним, — буде 16, І напиши це так: 16/7.

2. Так само легко здійснюється віднімання. Для цього чисельник одного дробу віднімають від чисельника другого, а саме — менший від більшого, і під різницею підписують той самий знаменник. Так, якщо ти хочеш відняти 7/9 від 9/9, відніми тільки 7 від 9, — залишиться 2, отже, пиши 2/9. Це і є різниця.

Доведення правильності обох цих дій здійснюється так, як і для цілих чисел, тобто додавання перевіряється за допомогою віднімання, а віднімання за допомогою /26зв./ додавання, \40\і при цьому зовсім не треба брати до уваги знаменник, як я вже про це казав.

У наведеному тут прикладі додавання, якщо 9 ти віднімеш від 16, залишиться 7, тобто стільки, скільки ми одержуємо, складаючи разом 3 і 4; якщо ти віднімеш 4 від 16, то залишиться 12 — саме стільки, скільки буде, якщо скласти разом 9 і 3, і т. д.

У прикладі з відніманням, якщо 2, що є різницею, ти додаси до 7, яке м.и віднімали, — одержиш 9, що було зменшуваним числом. І тут також знаменник не потребує ніяких обчислень.







Розділ восьмий

ПРО МНОЖЕННЯ І ДІЛЕННЯ ДРОБОВИХ ЧИСЕЛ


1. Множення дробів, чи матимуть вони однакові знаменники, чи різні, рекомендується здійснювати так: спершу чисельник одного дробу множимо на чисельник другого і результат пишемо вгорі — це й буде новий чисельник; потім знаменник другого дробу множимо на знаменник другого і результат записуємо під одержаним щойно новим чисельником — він, власне, і буде новим знаменником. Наприклад, якщо помножити 6/8 на 4/5, вийде 24/40. Потім ці дроби, які є дуже громіздкими, якщо схочеш, можеш звести до меншого числа за вказаним вище способом. І запам’ятай, що тут так само, як і в діях з цілими числами, якщо буде більше, ніж три дроби, які ми маємо помножити, відняти або поділити, то слід їх спочатку за допомогою додавання скласти в одну суму 28.

2. Що ж до ділення дробів, то тут застосовується такий метод: помнож чисельник діленого на знаменник дільника і результат запиши вгорі як новий чисельник. Потім знаменник діленого помнож на чисельник дільника і цей другий результат запиши внизу як новий знаменник. Обидва ці результати, взяті разом, визначать частку. Нехай треба розділити 2/3 на 4/5. Помнож 2 на 5, — буде 10; помнож також 3 на 4, — буде 12. Запиши так: 10/12, тобто, якщо дві /27/ треті ми ділимо на 4/5, то ці самі треті частини розпадаються на 10/12. Або, якщо хочеш, одержану частку зведи до меншого числа у той самий спосіб, який ми вказали в попередньому розділі під номером 9. Щоб ти не помилився, зверни увагу також на те, що дроби, які позначаються меншими цифрами \41\ або меншою кількістю цифр, мають більше значення, ніж ті, що позначаються більшими цифрами або більшою кількістю цифр, або іноді, принаймні, вони можуть мати однакове значення 29. Наприклад, 3/5 мають більше значення, ніж 5/10. Перевірка, або доведення правильності цих дій, здійснюється тут так само, як і в цілих числах, а саме: множення перевіряється діленням, а ділення — множенням.








Розділ дев’ятий

ПРО МІШАНЕ ЧИСЛО, ЩО СКЛАДАЄТЬСЯ З ЦІЛИХ І ДРОБІВ


Ми вже говорили окремо про цілі і дробові числа, тепер треба сказати дещо про мішані числа, до складу яких входять і цілі, і дробові.

1. Мішане число слід записувати так, щоб спочатку стояли цифри, що позначають цілі числа, а потім інші цифри, що позначають дробові числа, або дроби, як, наприклад, один і половина, або, як прийнято казати, півтора — 1½, один і одна третя — 1⅓, один і дві третіх — 1⅔, два і три четвертих — 2¾, п’ятнадцять і шість сьомих — 15 6/7 і т. д.

2. Тут спало мені спочатку на думку сказати про зведення цілих і дробів до однієї якоїсь суми дробових чисел, але про це вже було сказано (розділ шостий, 12), — отже, тут залишається розповісти коротко про додавання, віднімання, множення і ділення мішаних чисел.

3. Додавання мішаних чисел відбувається так: цілі числа додаються до цілих, дроби до дробів, якщо всі доданки будуть мішаними числами. Наприклад, якщо ти хочеш 2⅓ додати до 3⅔, — вийде сума 5 3/3 — п’ять цілих і три третіх. /27зв./ Це останнє дробове число в якому чисельник дорівнює знаменникові, є не що інше, як ціле, і тому можна сказати, що сума становить 6 — шість цілих. Якщо ж не всі доданки будуть мішаними числами, тоді при додаванні мішаного числа до чистого цілого складають лише цілі числа і дописують ті самі дроби: 3 і 4 2/4, якщо їх скласти, дадуть суму 7 2/4. Якщо ж мішане число ми маємо скласти з чистим дробовим числом, тоді треба скласти лише дроби один з одним і дописати те саме -ціле без всяких змін. Наприклад, 5 4/6 і 5/6, якщо скласти, дадуть в сумі 5 9/6. Оскільки ця сума дробових чисел перевищує ціле, її слід звести до цілого за вказаним вище способом (розділ шостий, 10). Отже, в даному прикладі вийде 6 3/6. \42\

4. Віднімання мішаних чисел буває трьох видів: або чист дроби віднімаються від чистого цілого числа, або чисті цілі числа від цілих з дробами, або цілі, з’єднані з дробами, віднімаються теж від цілих з дробами.

Якщо чисті дроби необхідно відняти від цілих чисел, відніми від цілих спочатку одну 1 і розділи її на такі частини, які ти маєш відняти. Наприклад, якщо хочеш 3/5 відняти від 6 цілих, то візьми 1 від цілих чисел, — залишиться 5; роздали взяту 1 на частини — 5/5, потім від їх чисельника за вказаним способом відкинь чисельник даного дробу, тобто 3, залишиться 2/5. Отже, віднявши 3/5 від 6 цілих, ти одержиш 5 2/5. Щоб відняти чисті цілі від цілих з дробами, як 3 від 8 4/7, відніми цілі від цілих, а дроби нехай залишаться без зміни. Так, в даному прикладі відніми тільки 3 від 8, — залишиться 5 4/7. Якщо ж треба відняти мішані числа від мішаних, то відніми цілі від цілих і дроби від дробів. Але слідкуй за тим, щоб це були дроби з однаковим знаменником, про що ми нагадували раніше. Так, коли відкинути 4 3/8 від 7 5/8, залишиться 3 2/8..

5. Множення мішаних чисел відбувається у такий спосіб, що дроби множаться на цілі числа. Це найзручніше робити так: помнож чисельник дробу на ціле число і добуток постав /28/ замість нового чисельника, а під ним напиши той самий знаменник, що був раніше. Наприклад, якщо хочеш 6/7 помножити на 5 цілих, помнож 5 на 6, — буде 90, отже, пиши 30/7. З використанням такого множення ми зустрінемося при застосуванні золотого правила.

6. Ділення мішаних чисел відбувається так, що або цілі числа діляться на дробові, або дробові на цілі 30. І в тому, і в другому випадках напиши під цілим числом 1, ніби це не ціле число, а дробове: адже в цілому стільки одиниць, скільки позначає його власна цифра. Потім дані дроби поділи на ціле з підписаною під ним 1, як дріб на дріб, за способом, вказаним у попередньому розділі. 2. Якщо хочеш розділити ціле, то розділи ціле число з підписаною під ним 1 так само, як ми ділимо дріб на дріб. Нехай, наприклад, ти хочеш розділити 7 цілих на 3/4. Запиши і розмісти обидва числа так: 7/1 × 3/4 31, потім помнож 7 на 4 і добуток 28 зроби новим чисельником; потім 1 помнож на 3 (адже такий спосіб ділення дробів було подано вище), і добуток 3 постав замість знаменника ось так: 28/3. Після цього, якщо хочеш, задля зручності зведи дроби до цілих чисел за способом, який ми пояснили вище. Так, в даному прикладі 28/3, зведені до цілого, дадуть 9⅓. /28зв./ \43\











Попередня     Головна     Наступна         Примітки


Етимологія та історія української мови:

Датчанин:   В основі української назви датчани лежить долучення староукраїнської книжності до європейського контексту, до грецькомовної і латинськомовної науки. Саме із західних джерел прийшла -т- основи. І коли наші сучасники вживають назв датський, датчанин, то, навіть не здогадуючись, ступають по слідах, прокладених півтисячоліття тому предками, які перебували у великій європейській культурній спільноті. . . . )



 


Якщо помітили помилку набору на цiй сторiнцi, видiлiть ціле слово мишкою та натисніть Ctrl+Enter.

Iзборник. Історія України IX-XVIII ст.