Уклінно просимо заповнити Опитування про фонему Е  


[Феофан Прокопович. Філософські твори. Том III. Математика. Книжка III]

Попередня     Головна     Наступна         Примітки





Книжка третя

СПЕЦІАЛЬНА АРИФМЕТИКА, ШО ЗАСТОСОВУЄТЬСЯ В ГЕОМЕТРІЇ



Застосування арифметики в усіх розділах математики настільки значне, що жоден з них не може обійтися без неї при обчисленнях, доведеннях та інших операціях, і тому всі вони мають завдячувати арифметиці своїми успіхами.

Та хоч правила арифметики обслуговують усі галузі математики, проте в різних галузях існують деякі спеціальні, відмінні правила, і, передусім, в геометрії, яка є ніби другим крилом математичної науки.

Ця книжечка і розповість коротко про те, яку саме специфіку має арифметика, що застосовується в геометрії.

Нічого немає значнішого з тих операцій, які за допомогою арифметики виконуються в геометрії, ніж видобування квадратних і кубічних коренів. Тому ми спочатку маємо тут навчити, як виконується ця дуже важлива дія.




РОЗДІЛИ ТРЕТЬОЇ КНИЖКИ


I. Що таке квадратне і кубічне числа і що розуміти під їх коренями?

II. Спосіб добування квадратних коренів.

III. Спосіб добування кубічних коренів

IV. Про знаходження середнього пропорціонального. /44/

V. Показується застосування добування квадратних і кубічних коренів на деяких геометричних прикладах.






Розділ перший

ЩО ТАКЕ КВАДРАТНЕ І КУБІЧНЕ ЧИСЛА І ЩО РОЗУМІТИ ПІД IX КОРЕНЯМИ?


1. Квадратам в геометрії називають прямолінійну фігуру, чотири сторони якої рівіні між собою, а всі кути прямі. Так само і в арифметиці квадратним числом називається таке, яке може бути розміщене своїми окремими одиницями у квадраті так, \72\ що всі його сторони щодо один одного виявляться однаковими, наприклад 4, 9, 16, 25 і т. д. Бо число 4 розміщатиметься так:

. .

. .

9 так:

. . .

. . .

. . .

16 так:

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

і, нарешті, 25 так:

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .




КВАДРАТНЕ ЧИСЛО


Як геометричний квадрат одержують тоді, коли будь-яку лінію проводять в ширину на таку відстань, якою є довжина цієї самої лінії, так і арифметичний квадрат, або квадратне число, виникає тоді, коли множать на ширину такої самої довжини, тобто само на себе. Так, 2 по 2 дає 4, 3 по З — 9, 5 разів по 5 — 25 і т. д.

2. Корінь квадрата є не що інше, як одна з його сторін; так само і корінь квадратного числа є те число, яке, помножене само на себе, утворює цей квадрат і яке, взяте окремо, утворює одну сторону такого квадрата. Так, у першому квадратному числі 4 коренем є 2, у числі 9 — 3, у числі 16 — 4, у числі 25 — 5 і т. д. Отже, добути квадратний корінь є не що інше, як віднайти таке число, яке, помножене само на себе, утворить дане число. Досить легко знайти квадрат будь-якого числа, але якщо дається квадратне число, то знаходження його кореня становить неабиякі труднощі. Отже, для того, щоб впоратися з цим нелегким завданням, доводиться користуватися спеціальними правилами. /44зв./




КУБІЧНЕ ЧИСЛО


3. Як квадратне число одержало свою назву від фігури квадрат, так і кубічне число було назване (відповідно до геометричного куба. У геометрів куб — це зображення твердого тіла, що має шість однакових поверхонь і всі кути прямі, як ти бачиш тут [рис. 1] 1.

Вважають, що таке зображення утворюється тоді, коли проводять лінію вздовж і таку саму лінію впоперек, і тоді вони утворюють квадратну поверхню. Потім вся поверхня повертається на довжину тієї самої лінії і утворюються тіла, що називаються кубиками, або гральними костами. Так і число, коли спочатку множиться само на себе, а потім добу\73\ток знов множиться на це саме число, то цей останній добуток називається кубічним числом.




Рис. 1

Рис. 2


4. Кубічний корінь, або корінь кубічіного числа, є не що інше, як те, попереднє число, яке ми помножили само на себе, а потім на добуток, одержаний від перемноження того самого числа на себе. Адже, якщо б ми розмістили кубічне число, поділивши йото на окремі поверхні, то корінь мав би дорівнювати за значенням однієї з цих поверхонь. Так, наприклад, якщо б помножити само на себе, — це дасть 25; якщо цей добуток потім знав помножити на 5, — вийде інше число, а саме 125. Отже, це і є кубічне число, а його коренем є 5, бо, коли 125 тіл так з’єднати одне з одним, щоб вони утворили шість поверхонь, то будь-яка поверхня складатиметься з 5 однакових тіл. Ось маєш приклад на такому малюнку [рис. 2].

І знову-таки, хоч досить легко утворити від будь-якого числа кубічне число, проте дуже важко, маючи дане кубічне число, добути корінь, тобто те перше число. Для виконання цієї дії необхідно вивчити деякі правила. Правила, потрійні, для виконання обох дій, подаємо.







Розділ другий

СПОСІБ ДОБУВАННЯ КВАДРАТНИХ КОРЕНІВ


Добування коренів більшість авторів заплутує такими лабіринтами, що кожний новачок, перелякавшись надзвичайної складності цієї справи, відмовляється від спроб і втрачає будь-яку надію навчитися цьому, Проте Гемма Фрізій завдяки своєму щасливому розуму відкрив дуже легкий і приємний шлях до цього. І тому, відмовившись від усіх інших, ми подаємо його правила. \74\

1. Отже, спочатку слід мати перед очима перші і прості квадрати та їхні корені. А їх можна взяти з таблички Піфагора лише для перших 9-ти чисел. Це такі [рис. 3].

2. Якщо ти маєш цю табличку і якщо тобі пропонують якесь велике число, корінь якого ти маєш відшукати, то виконуй дію за такими правилами:

1) починаючи справа, постав крапку під першим знаком, потім під третім, тоді під п’ятим, після цього під сьомим і т. д. просувайся вперед переміино, одну цифру позначаючи, а другу залишаючи непозначеною. Наприклад, пропонуємо число 133 225: цифри цього числа познач внизу крапками так, як ти тут бачиш. Ці крапки дають подвійну користь: спочатку вони показують, скількома знаками буде виражено корінь, який ми шукаємо, а потім вони допомагають перейти до наступної дії 2;

2) тепер уже починай зліва (бо добування коренів мало відрізняється від ділення) і шукай в табличці корінь числа, що стоїть ліворуч, і на яке вказує остання крапка (чи буде воно виражене однією, чи двома цифрами — це не має значення). Одержаний корінь постав поза дужкою, як при діленні. Якщо цього числа не буде в таблиці, візьми в ній найближче менше квадратне число. Так, у запропонованому прикладі слід відшукати корінь числа 13. Оскільки цього числа в таблиці немає, я беру найближче до нього менше квадратне число, а саме 9, коренем якого є 3, — це число я ставлю вкремо поза дужкою. А квадрат, взятий з таблиці, — 9 віднімаю від 13 — залишається 4. Пишу це вище, /45зв./ як при діленні. Адже, якщо б те саме вказане число було квадратним, то воно б цілком зникло;

3) потім знайдене число треба подвоїти і подвоєне поставити після крапки, просуваючись праворуч. Після цього узнай, ніби це буде дільником, скільки разів він міститься у верхньому числі. Частку постав і поза дужкою, і близько біля дільника. Так, у даному прикладі, подвоюючи 3, одержуємо 6. Постав це під числом 43 і знайдеш, що часткою від ділення цього числа на попереднє буде 6 (хоч воно і знаходиться там сім разів, але цього числа не можна писати, а задля обережності треба писати менше число). Це число я пишу поза дужкою і приписую його до дільника. Зробивши це, помнож дільник разом з приписаним до нього зінаком на тільки що знайдену частку, а добуток відніми від числа, що стоїть угорі над ним, і, якщо щось залишиться, запиши це вище, як при діленні; \75\


корінь

корінь

корінь

корінь

корінь

корінь

корінь

корінь

корінь

1

2

3

4

5

6

7

8

9

квадрат

квадрат

квадрат

квадрат

квадрат

квадрат

квадрат

квадрат

квадрат

1

4

9

16

25

36

49

64

81

Рис. 3



4) якщо після цієї дії ми дійдемо до першої крапки, то більше нічого не треба робити, і корінь уже знайдено, — це й буде те число, яке ми записали поза дужкою. Коли ще й досі залишається багато крапок, то знову треба подвоїти все те число, що ми записали поза дужкою, і, подвоївши, як раніше, поставити після найближчої крапки, а потім поділити на нього число, яке стоїть угорі, і частку дописати у двох місцях, тобто поза дужкою та біля дільника. Після цього знову дільник разом з дописаним числом помнож на частку і добуток відніми від верхнього числа; і роби це стільки разів, поки не дійдеш до першої крапки, а тоді можеш закінчити дію. Виконуючи у такий спосіб усі дії із запропонованим числом, ти знайдеш, що його коренем буде 365.

3. Проте тут також слід дотримуватися деяких правил:

1) якщо після перемноження частки на дільник, до якого дописана та сама частка, вийде число, більше від того, що стоїть угорі, так що його не можна буде відняти від верхнього, то запиши замість частки число, менше на 1, так caмо, як ми це робили, виконуючи звичайне ділення;

2) якщо дільник буде більший від верхнього числа, то в. частці також слід писати нуль;

3) якщо після останньої дії нічого не залишиться, то це було точне квадратне число. Якщо залишиться якась остача, то дане число /46/ не було квадратним, а таке число називається глухим 3. Ти міг би потім цю остачу розбити на дроби і знайти їхні корені таким чином: треба подвоїти знайдений корінь і додати до нього 1, — це число буде служити знаменником, над яким угорі замість чисельника має бути записана остача. Проте така дія не завжди буде надійною, а лише тоді може статися у пригоді, коли ти шукаєш або точний корінь, або принаймні приблизний. Бо деякі числа настільки глухі, що взагалі позбавлені точного кореня. І якщо в них залишаться після знаходження кореня якісь дроби, не витрачай на них часу, бо це щось дуже незначне — і нехай собі залишається, адже таку мізерну кількість не слід враховувати.

4. Перевірка правильності цієї дії проста й легка: помнож знайдений уже корінь [на себе] і, коли буде якась остача, додай її до добутку, бо, якщо ти правильно виконав усі дії, то вийде те число, корінь якого ти відшукав. \76\






Розділ третій

СПОСІБ ДОБУВАННЯ КУБІЧНИХ КОРЕНІВ


1. Як при добуванні квадратних коренів ми позначали 9 перших і простих квадратів, так само і тут для знаходження кубічного кореня треба позначити 9 простих кубів, які можна одержати з тих самих квадратних коренів, множачи квадрати на їхні корені. Ось вони [рис. 4].

2. Отже, я хочу знайти кубічний корінь будь-якого числа, більшого за 1000 (бо щодо менших це не вимагає ніякого уміння, хіба коли йдеться про дробові числа або про знаходження коренів без таблиці): перший знак з правого боку познач крапкою, потім, пропустивши два знаки, познач крапкою четвертий знак, потім, знов пропустивши два знаки, познач сьомий знак і т. д. Наприклад, якщо тобі запропонують число 41 063 625, то познач так, як ти тут бачиш. /46зв./ А тепер вже виконуй дію за такими правилами:

1) подивись, яке число стоїть після останньої крапки, і, скільки б у ньому не було знаків, шукай його корінь у цій таблиці; якщо ж йото там не знайдеш, то візьми в таблиці найближче менше число і запиши його корінь поза дужкою;

2) попереднього правила треба дотримуватися лише один раз — з самого початку дії, а наступного дотримуйся весь час — аж до кінця дії, а саме: потрібно потроїти корінь, взятий з таблиці, і результат поставити під знаком, найближчим до передостанньої крапки. Потім той самий корінь помнож на число, одержане після його потроєная, і добуток запиши ліворуч, на один знак далі від потроєного числа. І для того, щоб не було непорозуміння під час виконання даної дії, назви ці два числа по-різному: перше звичайно називають потроєним числом, а друге — дільником;

3) потім поділи на цей дільник число, записане над ним угорі, тільки під час ділення зверни увагу ось на що: знайдену частку спочатку припиши до першого кореня, що стоїть поза луночкою, потім цю саму частку помнож на дільник, а добуток підпиши під цим дільником; після цього знов помнож ту саму частку саму на себе, а добуток помнож на потроєне \77\


корені

1

2

3

4

5

6

7

8

9

квадрати

1

4

9

16

25

36

49

64

81

куби

1

8

27

64

125

216

343

512

729

Рис. 4.



число, і цей другий добуток знову підпиши під потроєним числом, тільки нижче, ніж перший. І, нарешті, знов ту саму частку піднеси до куба, тобто помнож її двічі саму на себе, а кубічний добуток запиши під крапкою, найнижче. Ці три добутки склади в одну суму, але в такому порядку, як вони розміщені, і якщо цю суму можна відняти від верхнього числа, то її треба відняти, якщо ні, то потрібно закреслити все, зменшити частку і знов повторити дію. І коЛи дія дійде до останньої крапки, на цьому вона закінчиться. У протилежному випадку потрібно потроїти все те, що стоїть поза дужкою, і на це потроєне число помножити те саме число, що залишається поза дужкою, і далі роби так само, поки дійдеш до останньої крапки. Ось і всі правила, якими ти маєш керуватися, виконуючи дану дію. Але подивимося, як це буде на прикладі, коли ми будемо шукати корінь вказаного раніше числа 41 063 625;


1

14759

. . . . .

. . . . .

41 063 625

. . . . . . . .

9 (345

27

108

144

64

. . . . . . . . .

12304

102

3468

17 340

2550

125

1 759 625


4) спочатку я шукаю, який корінь в таблиці має число, що стоїть після останньої крапки, тобто 41. Але оскільки я його не знайшов, беру /47/ найближче менше число 27. Його корінь 3 записую поза дужкою. Потім потроюю цей корінь і, одержавши 9, пишу це під 6, після чого той самий корінь 3 множу на 9, — буде 27. Це число я розміщую на один знак далі ліворуч в нижньому рядку. Перше число 27, тобто те перше кубічне число, що я взяв з таблиці, віднімаю від 41, — залишається 14. Потім я ділю 140 на 27 і знаходжу, що — частка буде 4, записую її поза дужкою поруч з першим коренем; тепер множу 4 на 27,— виходить 108, і записую це під 27. Після цього множу частку 4 саму на себе, — виходить 16; множу його на потроєне число, тобто, на 9, — одержую 144 і розміщую під потроєним числом. Знов підношу 4 до куба — виходить 64, і це число ставлю нижче під дальшою крапкою. І, нарешті, після того, як я склав ці три числа в одну суму, виходить 12 304. Це буде перша дія. Але оскільки ми не дійшли ще до кінця, я починаю другу дію, подібну до першої. Потроюю всю частку, тобто 34, — буде 102; це потроєне число розміщую під цифрою, найближчою до наступної крапки. Потім усю частку множу на це потроєне число, виходить 3468. Це буде новий дільник, який я записую нижче від потроєного числа і на один знак далі ліворуч. Після Цього ділю верхнє число на весь дільник і знаходжу частку \78\ 5, що й записую поза дужкою. Тоді частку 5 множу саму на себе — одержую 25, /47зв./ множу його на потроєне число, а саме на 102, — виходить 2560, що й записую під потроєним числом. І, нарешті, частку 5 підношу до куба, тобто множу спочатку на саму себе, — виходить 25, а потім цей квадрат — знову на 5, що дає 125. Це число я ставлю під наступною крапкою, яка в нашому прикладі є вже останньою. Потім складаю всі три добутки в одну суму, що становить 1 759 625. Якщо цю суму ти віднімеш від верхнього числа, то виявиться, що нічого не залишається. Отже, дію закінчено, і ми знайшли, що коренем 4 кубічного числа 41 063 625 є 345;

5) тут необхідно нагадати про ті застереження, які були зазначені вище щодо квадратних коренів, а саме: коли від ділення ми не можемо знайти жодної частки, слід писати нуль, і коли сума, одержана від складання трьох добутків буде більшою, ніж число, від якого її віднімають, треба зменшити частку і повторити всю дію. Тому в першій дії наведеного вище прикладу, коли 140 ділили на 27, ми поставили частку 4, а якщо б це було просте ділення, ми поставили б 5;

6) коли б щось залишилося після останньої дії, то, отже, запропоноване число не є точним кубічним числом. Знайти дробове число від будь-якого куба і добути корінь цього числа ти можеш у такий спосіб: піднеси до куба знаменник дробу і добуток помнож на число, корінь якого тобі треба відшукати, потім знайди кубічний корінь всього цього добутку за вказаним вище правилом. Наприклад, якщо дано 623 пальми і я хочу дізнатися, скільки сотих частин пальма має кубічний корінь цього числа, я підношу до куба 100, — виходить 1000000, множу це на 623, — одержую 633000000. Шукаю кубічний корінь цього числа, — знаходжу 854 і залишається 164 166. Отже, я кажу, що кубічним коренем числа 623 є соті частини 854 854/100, тобто 8 цілих пальмів і 54/100, що дорівнює половині 1/2. А та остача, що залишилася тут і раніше, майже невідчутна, і тому її можна не враховувати. Зверни особливу увагу на те, що ти найбільш наблизишся до істини за допомогою такої дії, при якій ціле число розбивається на найдрібніші частини, тобто на соті, п’ятисоті, тисячні і т. д. /48/ Коли дається число, Що складається з будь-яких дробів, і при цьому нічого не кажуть про число цілих, а треба відшукати його квадратний або кубічний корінь, то це ти зможеш зробити якнайкраще так: знайди корінь чисельника і корінь знаменника. Якщо ти шукаєш квадратний корінь, то роби це за методом, описаним у попередньому розділі; якщо шукаєш кубічний, то користуйся правилами, викладеними в цьому розділі. Знайдений корінь чисельника і сам буде чисельником, а корінь знаменника буде знаменником. Отже, даний корінь \79\ в цілому буде також виражений дробовим числом. Так, у дробового числа 16/26 (квадратним) коренем буде 4/5, а у дробового числа 27/64 кубічним коренем буде 3/4. Коли ж одне з двох чисел — або чисельник, або знаменник — не матиме кореня, то не можна знайти і кореня всього дробу.







Розділ четвертий

ПРО ЗНАХОДЖЕННЯ СЕРЕДНЬОГО ПРОПОРЦІОНАЛЬНОГО


1. Середнім пропорціональним називається число, розміщене між будь-якими двома числами, більшим і меншим, і це число так відноситься до меншого, як до нього самого відноситься більше число. Потреба відшукати таке число виникає досить часто. Із способами знаходження будь-яких пропорціональних чисел ми познайомилися в четвертому розділі другої книжки, хоч там йшлося не про середні пропорціональні. Про знаходження середніх пропорціональних говорилося також у третьому розділі тієї самої книжки, проте там ми мали на увазі не геометричну пропорцію. Отже, ми розповімо про знаходження середніх пропорціональних у геометричній пропорції тут не тому, що цього вимагає доцільність такого порядку подання матеріалу, а що цього не можна одразу зрозуміти без уміння добувати квадратні й кубічні корені.

2. Таким чином, якщо ти хочеш при даних двох числах знайти трете число, що є середнім між ними, помнож менше на більше і знайди квадратний корінь добутку, — він і буде середнім пропорціональним. Як, наприклад, коли ти хочеш відшукати таке середнє число між 3 і 12, помнож 3 на 12, — буде 36, знайди його квадратний корінь, — він становитиме 6, Це й є середнє, бо, як 6 відноситься до 3 (а відношення це дорівнює 2), так і 12 відноситься до 6 (адже й тут відношення рівне 2).

3. Якщо б ти схотів відшукати два пропорціональні числа, наприклад між 3 і 24, то спершу помнож менше число само на себе, як тут 3 на 3, — буде 9; добуток помнож на більше число, як тут 9 /48зв./ на 24, — буде 216. Потім знайди кубічний корінь другого добутку — він і буде першим середнім і другим по черзі числом, як тут 5 6. А друге середнє число ти відшукаєш за допомогою першого правила, як у даному прикладі: помнож 6 на 24, — буде 144; шукай квадратний корінь і знайдеш \80\ число 12. Це буде друге середнє пропорціональне число, що є третім по черзі. Отже, пропорціональними числами є такі: 3, 6, 12, 24.

4. Слід, проте, знати, що не між усіма числами можна встановити у такий спосіб середнє число. І тому, якщо між якимись числами не вдається знайти середніх згідно з завначеним правилом, то треба сказати, що ці числа за своєю природою нездатні 6 мати такого середнього числа.








Розділ п’ятий

ПОКАЗУЄТЬСЯ ЗАСТОСУВАННЯ ДОБУВАННЯ КВАДРАТНИХ І КУБІЧНИХ КОРЕНІВ НА ДЕЯКИХ ГЕОМЕТРИЧНИХ ПРИКЛАДАХ


Оскільки вказані правила добування коренів завдають неабияких труднощів тим, хто цим займається, особливо коли число велике, то для того, щоб робота ця не здавалася марною, а труднощі нездоланними, ми вважаємо за необхідне додати декілька прикладів, що показують, яке застосування знаходить добування коренів в геометрії.

1. Передусім слід почати з викладу відомої геометричної теореми, знаючи яку, досить легко за допомогою добування коренів вимірювати деякі величини. Ось ця теорема: «В прямокутних трикутниках квадрат, побудований на стороні, що лежить проти прямого кута, дорівнює тим квадратам, які розміщені на сторонах, що утворюють прямий кут» (Евклід, «Основи», кн. I, теорема 33, твердження 47, як вказує Клавій).

Суть цієї теореми поясню на прикладі за допомогою намальованої фігури. Нехай нам дано прямокутний трикутник, abc, прямий кут якого є а, а сторони, що його, обмежують, — ab і ас. Сторона, проведена проти цього прямого кута, є cb. Отже, Евклід твердить, що коли на всіх сторонах цього трикутника накреслити квадрати, як ми накреслили тут, то квадрат, побудований на стороні, що лежить проти прямого кута, буде рівний /49/ тим обом, які побудовані на сторонах, що обмежують той самий прямий кут. Як тут: квадрат cbFG рівний квадратам abd і асЕ. Будемо вважати це достатньо точним і без доказів.




Рис. 5


2. Що ж до прикладів, в яких показується, як застосовується добування коренів, то нехай першим буде такий приклад: я хочу побудувати сходи, які з певної відстані мають сягати вершини башти. Спочатку будь-яким іншим способом я мушу довідатися, на якій відстані розташована башта від того місця, з якого сходи підійматимуться вгору, потім \81\ треба дізнатися про висоту башти. Для цього я уявляю собі прямокутний трикутник, сторони якого, що обмежують прямий кут, є відстанню і висотою, а сторона, розміщена проти цього кута, є та повітряна лінія, через яку мають провести сходи. Уявляю, що на всіх цих сторонах накреслені квадрати: нехай, наприклад, башта висотою в 200 ліктів розміщена від нас на відстані 60 ліктів. Отже, помножу кожне з цих обох чисел само на себе і таким чином одержую квадрати їх сторін. Так, 200, помножені самі на себе, дають 40 000, тобто квадрат висоти, а 60, помножені самі на себе, утворюють 3600, тобто квадрат відстані. Ці квадратні числа я складаю одне з одним, — виходить 43600 — і це вже буде квадрат повітряної лінії, через яку протягнуться сходи і яка в даному трикутнику є стороною, що лежить проти прямого кута. Адже за теоремою Евкліда, наведеною тут, два квадрати, накреслені на двох сторонах прямокутного трикутника, а саме тих, що утворюють прямий кут, мають дорівнювати квадрату, накресленому на стороні, що лежить проти прямого кута. Таким чином, два квадрати, складені разом, дають квадрат протилежної прямому кутові сторони. Зробивши це, знайди квадратний корінь, і з цього третього квадрата стане відомою довжина повітряної дороги, по якій здійматимуться сходи, а через це і довжина самих сходів. Як у нашому прикладі, квадратним коренем цього квадратного числа 43600 (хоч воно й не є точним квадратом) буде 208 і приблизно 14/17. Таку довжину матимуть сходи.

3. Другий приклад нехай буде такий: за тією самою теоремою, добувши квадратний корінь, ти знайдеш висоту башти, якщо тобі відомі /49зв./ відстань і довжина сходів. Отже, спочатку помнож довжину сходів саму на себе, — одержиш квадрат, накреслений на сходах 7; потім помнож відстань саму на себе — буде квадрат, накреслений на цій відстані. Після цього квадратне число відстані відніми від квадратного числа сходів, — різниця покаже квадрат висоти башти, а знайдений корінь цього квадратного числа буде висотою башти. Якщо ти мав би сходи довжиною, наприклад, 100 футів, а відстань, з якої простягаються сходи, становить 20 футів, то помнож 20 само на себе, — одержиш 400; потім помнож 100 само на себе, — вийде 10 000; відніми 400 від 10 000, — \82\ залишиться 9600. Це буде квадрат висоти, квадратний корінь цього числа покаже висоту, а саме: вона становитиме трохи менше, ніж 98 футів.

4. Третій приклад такий: треба виміряти площу трикутного поля. Коли б воно мало форму прямокутного трикутника то, знаючи дві сторони, які утворюють прямий кут, ти дізнався б також і про довжину третьої сторони, що лежить проти прямого кута, як і в першому прикладі. Встановивши цю довжину, лепко буде знайти площу всього поля. Проте від дальшої розробки подібних способів обчислення ми тут відмовляємося, бо розглядали це питання в даному розділі не для того, щоб навчити цій справі, а щоб показати, яку практичну користь дає добування коренів.

5. Щоб ти скоріше засвоїв знаходження квадратів і кубів та їхніх коренів і щоб це не становило для тебе труднощів, зроби собі таблицю, на якій запиши ряд чисел, починаючи від 1, а також квадрати та куби, що утворюються при їх перемноженні. Це ти легко можеш зробити, продовжуючи таблицю до довільного числа. Помноживши спочатку будь-яке число само на себе, ти матимеш квадрати, а потім, помноживши ці самі квадрати на їхні корені, ти одержиш куби, Тільки завжди маєш пам’ятати, що коли ти не відшукаєш даного числа, то слід брати найближче менше за нього.

І цього, я вважаю, досить яля викладу арифметики. \83\














Попередня     Головна     Наступна         Примітки


Етимологія та історія української мови:

Датчанин:   В основі української назви датчани лежить долучення староукраїнської книжності до європейського контексту, до грецькомовної і латинськомовної науки. Саме із західних джерел прийшла -т- основи. І коли наші сучасники вживають назв датський, датчанин, то, навіть не здогадуючись, ступають по слідах, прокладених півтисячоліття тому предками, які перебували у великій європейській культурній спільноті. . . . )




Якщо помітили помилку набору на цiй сторiнцi, видiлiть ціле слово мишкою та натисніть Ctrl+Enter.

Iзборник. Історія України IX-XVIII ст.