[Феофан Прокопович. Філософські твори. Том III. Геометріяю Книжка III]

Попередня     Головна     Наступна         Примітки

Книжка третя

ПРО СПЕЦІАЛЬНУ ГЕОМЕТРІЮ І, ПЕРЕДУСІМ, ПРО ВИМІРЮВАННЯ ДОВЖИНИ, ВИСОТИ Й ШИРИНИ

Спеціальна геометрія, яку іноді називають практичною геометрією, а іноді геодезією, є однією з найшляхетніших, корисних і цікавих галузей математики. Адже вона займається не лише вимірюванням землі, від чого колись і отримала свою назву, але вимірює все, що підлягає вимірюванню, де б воно не знаходилося — чи на небі, чи на землі, — із застосуванням спеціальних способів, які полегшують цю роботу. Вона відрізняється від. щойно викладеної загальної геометрії хіба лише своїм практичним спрямуванням, бо те, що перша розглядає найзагальніше, ця, друга, подає нам більш наочно і конкретно, й кількість, яку та розглядає, відділяючи в голові від конкретних тіл, ця, практична, вивчає й досліджує в тих чи інших.

Спеціальна геометрія ставить перед собою три задачі відповідно до трьох видів геометричних величин:

1) вимірювання ліній; 2) вимірювання площин; 3) вимірювання тіл. Враховуючи ці три задачі, спеціальну геометрію прийнято іноді розподіляти на етіметрію, або вимірювання ліній, епіпедометрію (вимірювання площин) і стереометрію (вимірювання просторових тіл) ¹. Про першу з них ми розповімо в цій книжці, а про дві останні — в наступній. Передусім, хочу попередити вас, що в цій книжці я розповідатиму лише про вимірювання прямих ліній, а криві лінії, якщо вони правильні, розглядатиму разом з площинами. Якщо ж криві лінії неправильні, то вони вимірюються лише за допомогою прямих, бо інших способів їхнього вимірювання не існує.

Пряма лінія, хоч сама собою, якщо її розглядати абстрактно, й не може розподілятися на будь-які інші види, проте, спостерігаючи її в матеріальних тілах і предметах, ми можемо ділити її на три або чотири різновиди, а саме: на довжину, або відстань, на висоту й ширину і, крім того, — на діаметральну відстань. Ця остання певною мірою відрізняється від довжини й ширини, як ти зрозумієш згодом.

Отже, ми маємо розповісти тут про вимірювання довжини, висоти і ширини. /89зв./

Оскільки вимірювання не може здійснюватися без певних приладів, або інструментів, і геометричні підстави вимірюван\165\ня запозичені з тверджень загальної геометрії, тобто з теорем, то відбувається воно шляхом співставлення розглянутих у теоремах фігур з тими тілами й предметами, які треба виміряти. А для того, щоб за допомогою тих фігур, зовнішній вигляд і властивості яких нам уже знайомі, ми могли визначити розміри конкретних вимірюваних предметів, фігури ті мають бути не просто якось накреслені — чи то на землі, чи в повітрі, — а треба мати точні їх зображення. Це робиться за допомогою певних інструментів і приладів, які відтворюють нам дійсні розміри, сторони й кути зображених на них фігур. А оскільки правильність і точність цих інструментів грунтується на якихось частково фізичних, частково математичних правилах і законах, ми спочатку маємо зупинитися на таких трьох питаннях: про міри, про інструменти й яро те, на чому грунтується застосування цих інструментів. Якщо ти добре з’ясуєш собі ці питання, по техніка вимірювання буде для тебе легкою й зрозумілою. Отже, порядок нашого викладу буде такий:

РОЗДІЛИ ТРЕТЬОЇ КНИЖКИ

I. Про загальновживані прості міри.

II. Про геометричні інструменти.

III. Викладаються деякі фізичні й математичні закони, на яких грунтуються суть і можливість застосування геометричних інструментів.

IV. Про вимірювання відстаней на місцевості, доступній з одного боку.

V. Про вимірювання відстаней на місцевості, доступній з обох боків.

VI. Про вимірювання висоти доступних предметів.

VII. Про вимірювання висоти недоступних предметів.

VIII. Про вимірювання глибини криниць і висоти валів.

IX. Про вимірювання діаметральних відстаней і гірських схилів.

Розділ перший

ПРО ЗАГАЛЬНОВЖИВАНІ ПРОСТІ МІРИ

1. Будь-яке вимірювання потрібно виконувати, починаючи від найменших мір, а саме: більші величини ми вимірюємо за допомогою менших /90/ і будь-яку кількість за допомогою одиниці. Найменшою одиницею міри у математиків є гран, най\166\ ближчою більшою від нього одиницею — перст, після нього — пальм, потім — фут, лікоть, сажень, стадій, італійська, або римська, миля, а після неї ще якась інша міра.

2. Гран — це товщина зернятка ячменю, перст — товщина пальця, й складається він з 4-ох гранів, тобто дорівнює 4-ом складеним разом зерняткам ячменю; пальм містить у собі 4 персти, фут — 4 пальми, лікоть — 1 1/2 фути, сажень — 5 футів, стадій — 125 саженів, римська миля — 8 саженів, або 1000 кроків. Наша руська миля містить 5 римських миль, тобто б тис. кроки, або 40 стадіїв.

Знаючи ці співвідношення, можна визначити будь-яку міру, яку ти лише забажаєш, тільки треба для цього написати цифри менших і менших мір, як ми про це скажемо далі. Щоб. добре запам’ятати ці міри, ти маєш вивчити такі віршики:

Перст ти одержиш один, як грани чотири з’єднаєш. В пальмі чотири персти, і в футі стільки же пальмів. Лікоть містить півтора фути, а сажень п’ять футів. Саженів сто двадцять п’ять складеш — і матимеш стадій. Вісім якщо ти візьмеш стадіїв, — милю одержиш Римську, а наша п’яти римським дорівнює милям.

3. Треба тільки попередити, що ці міри неоднакові у різних народів, бо одні мають менший фут, пальм, сажень, а інші — більший. Що є причиною цієї нерівності: чи неоднакові розміри зерен ячменю, чи щось інше, — цього я не знаю. І через це для точності у співставленяі мір різних народів треба починати від спільної для всіх міри — ліктя, а від нього доходити до грана.

4. Всі ці міри називають простими тому, що, беручи вказані міри в їх простому вигляді, не складаючи й не перемножаючи, ми вимірюємо ними прямі лінії. Площини ми вимірюємо тими самими мірами, але квадратними, а тіла — тими самими мірами, але кубічними, тобто піднесеними до куба.

Розділ другий

ПРО ГЕОМЕТРИЧНІ ІНСТРУМЕНТИ /90зв./

Інструменти, якими користуються геометри, неоднакові: за допомогою одних здійснюється звичайне, просте вимірювання, за допомогою інших — вимірювання спеціальне, математичне; одні служать також для правильного й вчасного виготовлення та розміщення простих інструментів, інші — для \167\ виготовлення тих інструментів, за допомогою яких конструюються, встановлюються, перевіряються й уточнюються всі попередні. Про кожен з цих видів ми скажемо окремо, але в зворотному порядку, починаючи від останнього виду.

ОСНОВНІ ІНСТРУМЕНТИ, ЗА ДОПОМОГОЮ ЯКИХ ВИГОТОВЛЯЮТЬ І УТОЧНЮЮТЬ УСІ ІНШІ

1. Існує два таких інструменти, за допомогою яких конструюють всі інші нові інструменти, а також перевіряють і уточнюють їх. І цілком справедливо буде назвати їх інструментами інструментів, або їх творцями. Такими інструментами є лінійка й циркуль.

Рис. 1

2. Лінійка — це інструмент, за допомогою якого креслять прямі лінії. Вона є нічим іншим, як подовженою дощечкою, або табличкою, зробленою з дерева або з іншого тривкого матеріалу, що має один або обидва боки цілком прямі, наприклад лінійка АВ [рис. 1 ]. А наскільки прямою є ця лінійка й з якого боку можна накреслити правильні прямі, ти можеш перевірити таким чином: нехай ми маємо лінійку АВ, вздовж боку якої CD накреслено пряму CD від точки С до точки D. Поверни лінійку так, щоб залишився той самий бік її угорі, точка С опинилася в точці D, а точка D — в точці С. Вздовж того самого боку лінійки — CD проведи пряму від точки С до точки D. І якщо ця друга лінія збіжиться з першою так, що обидві вони утворять одну пряму, то ми, не вагаючись, можемо застосувати цю лінійку для креслення прямих ліній. Якщо ж вони цілком не збіжаться, то цей бік CD не є цілком прямий, і його треба старанніше вирівняти ²,

Рис. 2

3. Циркуль — це інструмент, за допомогою якого описують коло. Роблять його з міцного матеріалу, й складається він з двох загострених паличок, з’єднаних угорі так, /91/ що його загострені кінці можуть розсуватися і зближатися, залежно від потреб того, хто виконує креслен\168\ня. А як це робиться, ти бачиш на рис. [В], який ми подали раніше.

Одна ніжка циркуля — А — гостра й звичайна, а на другій — С можна вирізати невеличке заглиблення, що є ніби вмістилищем для фарби або чорнила, що наносяться на креслення. Але зручніше буде користуватися цим інструментом, якщо одну частину ніжки ми зробимо з гнучкого матеріалу, а саме — частину від вістря С до точки D, а другу частину — з твердого й міцного матеріалу, а саме — від точки Е до голівки В. І ці дві частини треба з’єднати так, щоб гнучка частина не могла відірватися від твердої, але щоб, обертаючись, вони могли трохи відходити одна від одної. Щоб послабити чи посинити це обертання, в точці Е з бічної с.торони вставляють міцний гвинтик D: якщо його повернути в один бік, він закріпляє рухому ніжку циркуля; якщо в другий — послаблює її. Застосовувати це обертання слід тоді, коли треба трохи збільшити або зменшити коло.

ДРУГОРЯДНІ ІНСТРУМЕНТИ, ЩО ЗАСТОСОВУЮТЬСЯ ДЛЯ ВИГОТОВЛЕННЯ І ВСТАНОВЛЕННЯ ІНШИХ ГЕОМЕТРИЧНИХ ІНСТРУМЕНТІВ

4. Ті інструменти, про які йшлося вище, були первинними, або основними, бо для їх виготовлення не треба використовувати ніяких інших. Усі інші інструменти є вторинними, бо вони виготовляються за допомогою перших. Проте й ці останні, вторинні інструменти, застосовуються частково для конструювання, частково для встановлення геометричних інструментів. І серед них найбільше значення мають інструменти, що вживаються для поділу ліній, — косинець і висок, Інструменти для поділу, як завнаг чають математики, бувають різні. Один з них ми подали вище в розділі, присвяченому загальній геометрії. Але найзручнішим і найточнішим з усіх є такий [рис. 3].

Рис. 3

Із срібла, бронзи, міді, дерева або іншого міцного матеріалу зроби дві однакові довгі лінійки — ABD й АСЕ, які в точці А з’єднай будь-яким гвинтом так, щоб обидві вони могли однаково обертатися навколо цього гвинта, як навколо осі, і в разі потреби віддалятися й наближатися одна до одної, як ніжки \169\ циркуля. Потім від точки А як від центра слід провести на поверхнях згаданих лінійок дві рівні прямі лінії — AF й AG. Ці лінії треба поділити спочатку на дві, потім на три, на чотири, на п’ять, на шість, і на скільки тобі буде завгодно рівних частин, і позначити ці частини цифрами, як видно на малюнку, — і ти матимеш дуже зручний інструмент для поділу ліній на будь-яку кількість рівних частин /91зв./. Цей інструмент геометри звичайно називають інструментом частин. Застосовують його так: наприклад, ми маємо поділити лінію IK на три рівні частини. Треба зміряти циркулем довжину всього відрізка IK й, поставивши одне вістря циркуля в точку F нашого інструмента, потрібно розтягнути або втягнути інструмент, залишаючи без зміни відстань між кінцями циркуля, поки точка G інструмента збіжиться з другим вістрям циркуля. Зробивши це й не зрушуючи інструмент з місця, зміряй циркулем відстань між точками 3 й 3, позначеними на лініях інструмента, і цю відстань перенеси на лінію, яку ми маємо поділити: від І до L, від L до M і від M до K, — і ти отримаєш лінію ІК, поділену на три рівні частини.

Якщо треба поділити надто довгу лінію, таку, що її не можна вмістити між двома точками інструмента — F і G, наприклад пряму NO, то беруть спочатку її частину, яку можна там вмістити, наприклад NQ, і позначають її третину буквами NP; потім від тієї частини лінії, що залишилася, а саме від QO теж беруть третину, позначаючи її буквами QR. І, нарешті, цю частину QR переносять трохи вище і відкладають від точки Р до точки X, — так отримують відрізок NX, що є третиною всієї лінії.

Коли ж треба поділити лінію надто малу, що її не можна вмістити між двома точками інструмента — F і G, скільки б ми їх не наближували одну до одної, тоді потрібно взяти лінію, вдвічі більшу, й від неї відділити одну третину, а потім ти візьмеш половину цієї третини, що буде легше зробити, ніж брати третину даної нам малої лінії.

А якщо треба поділити лінію на кількість частин, яка не позначена на інструменті, наприклад на 40, 30, 36 і т. д., то поділимо спочатку цю лінію на субмультиплікатні попереднім кількості — 20, 15, 18 і т. д., а потім кожну з цих частин поділимо навпіл.

Рис. 4

5. Косинець — це інструмент, за допомогою якого дуже зручно креслити перпендикулярні лінії або прямі кути, що, власне, робиться так само. А оскільки ми вже говорили про те, що у півколі можна побудувати лише прямий кут, то звідси й випливає найпростіший опосіб побудови косинця, а також перевірка правильності цієї побудови [рис. 4]. Бо \170\ якщо ти візьмеш дві лінійки — АВ й АС, зроблені з тривкого матеріалу, й прикладеш одну до одної так, що сторона однієї — АВ пройде через крайню точку діаметра B, а сторона другої — АС пройде через другу крайню точку діаметра — C, то від цього самого поєднання двох лінійок, якщо лише вершина кута А збіжиться з будь-якою точкою А на дузі кола, /92/ в тебе утвориться точний і досконалий косинець. Тим самим способом ти можеш перевірити, чи правильно зроблений косинець, хоч це можна виконати також й іншим шляхом.

Простим ремісникам та іншим майстрам, не обізнаним з математичними науками, ми радимо запам’ятати такий спосіб виготовлення косинця: зігни аркуш картону так, щоб лінії згину перетиналися, тобто зігни картон і добре притисни лінію згину, після цього зїгни картон ще раз так, щоб лінія згину збіглася сама з собою, а потім зігни вдруге в іншому напрямку, лінії згинів перетнуться під прямим кутом і, дотримуючись напрямів цих ліній, можна побудувати косинець.

6. Висок — це інструмент, що вживається не для креслення перпендикулярних ліній, як дехто помилково вважає, а для перевірки правильності й точності цих ліній, — і це його перше й основне призначення. А друге, похідне призначення — це перевірка правильності також і горизонтальних ліній. Виготовляється висок приблизно так: з міцного матеріалу роблять дощечку, що має форму паралелограма ABCD, всі кути і сторони якого абсолютно прямі (правда, верхня його частина може мати довільну форму) [рис. 5]. Потім через його середину проводять пряму EF, паралельну до сторони АВ чи до сторони DC, яка через це є перпендикулярам до основи ВС. Біля основи ВС видовбують фігуру будь-якої форми, наприклад Н. І, нарешті, від точки Е опускають прив’язану до нитки олов’яну кульку G, яка вільно обертається на видовбаній частині паралелограма. Ось і маєш цілком готовий інструмент.

Рис. 5 Рис. 6

Застосовування його двояке: перше, основне — для перевірки правильності перпендикулярних ліній, як я вже сказав раніше, а саме, якщо ти хочеш перевірити, чи перпендикулярно до лінії горизонту поставлені стіна чи мур або кілок, то треба прикласти сторону виска АВ чи DC до стіни або кола і, якщо нитка з кулькою пройде через перпендикулярну лінію EF, отже й стіна або кілок теж стоять пер\171\пендикулярно. У протилежному випадку стіна або кіл стоятимуть не прямо, а похило. Друге, похідне застосування виска — це перевірка /92зв./ горизонтальності лінії, тобто лінії, перпендикулярної до напряму тіл, що падають до центра землі під дією сили ваги. Отже, якщо ти хочеш перевірити, чи поверхня стола є горизонтальною поверхнею, постав на стіл основу інструмента — ВС, і, якщо нитка пройде через призначену їй лінію, то стіл має горизонтальну поверхню. В протилежному випадку поверхня його буде похилою.

7. Висок можна сконструювати й у такий спосіб, щоб він слугував водночас інструментам для перевірки горизонтальності лінії й для перевірки правильності лінії, перпендикулярної до горизонту. Цей висок виготовляють так, як ти бачиш на даному малюнку [рис. 6].

Ці п’ять інструментів настільки необхідні геометрам, географам, архітекторам та іншим митцям, що без них вони були б, кажуть, як без рук.

ГЕОМЕТРИЧНІ ІНСТРУМЕНТИ, ЗА ДОПОМОГОЮ ЯКИХ ЗДІЙСНЮЄТЬСЯ ВИМІРЮВАННЯ ПРЕДМЕТІВ, ЩО ВИМАГАЄ СПЕЦІАЛЬНИХ ЗНАНЬ

Тепер, користуючись згаданими вище інструментами, сконструюємо інші інструменти, за допомогою яких можна буде застосувати теореми загальної геометрії до вимірювання конкретних- предметів і здійснити ці вимірювання. Таких інструментів, виготовлених різними винахідниками, є чимало, й вони досить різноманітні.

Я розповім тут лише про ті з них, які найчастіше вживаються і які досить легко сконструювати. Таких інструментів \172\шість: квадрат, квадрант, геометричний стіл, палиця Якова, Андріївський хрест, гномон.

Виготовлення квадрата. З міді, дерева або будь-якого іншого тривкого матеріалу, добре вирівняного, виготовляють квадрат ABCD так, як це було вказано в задачі про побудову квадрата [рис. 7]. Квадрат цей може бути виготовлений цілком з твердого матеріалу або може бути наполовину видовбаний, або збитий з чотирьох рівних лінійок чи паличок. Потім на сторонах ВС й CD проводять три лінії на певній відстані одна від одної, паралельно до ліній, які обмежують квадрат, і в точках поділу пишуть цифри, ак видно на малюнку. Потім ті самі сторони квадрата — ВС і CD — ділять на 100 рівних частин або, принаймні, на 10, \173\ якщо інструмент буде надто малий, і після дього, приклавши лінійку до /93/ центра А й до окремих точок поділу, проводять рисочки і пишуть цифри, як ти бачиш на малюнку. Якщо хочеш уникнути кропіткої роботи, нав’язаної з поділом на частини, накресли на іншій поверхні будь-яку лінію й на ній відміряй циркулем 100 рівних частин, а потім на відрізку,

Рис. 7 Рис. 8

довжина якого дорівнює всім цим частинам, разом узятим, побудуй квадрат. Після цього зроби на сторонах квадрата АВ й AD по два крильця EF і QH, проколоті голкою, — надалі ми будемо називати їх діоптрами. Нехай всі діоптри будуть однакової глибини, а отвори їх знаходитимуться на однаковій відстані від поверхонь, яким вони протистоять, і всі вони будуть також звернені до тієї самої прямої лінії, накресленої під ними.

Потім, як ти ретельно все ще зробиш, від точки А треба опустити висок, тобто нитку з олов’яною кулькою. Можна зробити лише дві діоптри, розташовані на одній стороні квадрата, а для визначення довжини А висоти слід прикладати їх то до одного, то до другого ока — спочатку до правого, потім — до лівого. Крім того, слід запам’ятати, що будь-яка одна з двох сторін, на якій накреслені рисочки поділу й написані цифри, називається прямою тінню, а друга — оберненою тінню, оскільки одну з сторін, не поділену і не написану, наприклад АВ, приймають за встромлену паличку, яка відкидає тінь. Отже, для сторони АВ прямою тінню, або тінню, що простягається під ним, буде сторона ВС, а оберненою, тобто піднесеною догори тінню, буде сторона CD. Інструмент, зроблений у такий спосіб, називають висячим квадратом. Його можна також тримати в руках або підвішувати на шнурку. Стоячий квадрат сконструювати важче, й, крім того, стоячий квадрат — це майже те саме, що й геометричний стіл. Тому зараз ми не будемо про нього говорити, але все \174\ те, що ми далі розповімо про геометричний стіл, стосуватиметься також і його:

Виготовлення квадранта. Квадрант — це ніщо інше, як четверта частина круга.

На дерев’яній дощечці, ретельно виструганій і відполірованій, або на мідній чи на якійсь іншій тривкій платівці накресли дугу квадранта [рис. 8]. Це буде легше зробити і креслення твоє вийде точнішим, коли перед тим проведеш дві прямі — АВ і АС, які, перетинаючись, утворюють прямий кут, і від точки A, як від центра, на відстані АВ або АС описати дугу ВС. Потім опиши другу дугу, паралельну першій, а також третю. Вони вдають бути розміщені на належній відстані одна від одної, як ти бачиш на малюнку. Найвіддаленішу від зовнішнього обводу дугу ділимо на 90 рівних частин, які астрономи називають градусами. Щоб легше було ділити дугу, розділи її спочатку на /93зв./ три рівні частини, а кожну з них потім поділи навпіл, і, нарешті, кожну з цих найменших частин розділи ще на п’ять рівних частин. Ділити дугу на три рівні частини треба у такий спосіб: розводячи ніжки циркуля на таку ж відстань, на якій ти креслив квадрант, і ані трохи не змінюючи її, постав одну ніжку циркуля в точку В, а другу протягни до дуги, — точку, в якій вона торкнеться дуги, познач літерою D. І знову, поставивши одну ніжку в точку C, другу протягни до дуги і познач нову точку літерою Е — квадрант буде розділений на три рівні частини: ВЕ, ED, DC. Ці частини ти розділиш знову на інші три без будь-яких труднощів, збільшуючи й зменшуючи відстань між вістрями циркуля, а ці останні три мастики так само розділиш навпіл і т. д. Зробивши це, від центра А до кожної точки поділу проведи прямі лінії й напиши цифри, що позначатимуть кожен градус. Після цього до сторони АВ або АС, або до них обох треба приладнати діоптри, про які ми вже писали, коли йшлося про конструювання квадрата, а до центра прив’язати нитку з олов’яною кулькою. Цей інструмент вживається дуже часто, за його допомогою виконують складні й важливі вимірювання. Тому математики називають його чудодійним квадрантом. Можна також поруч з квадрантом, під ним, накреслити площину.

Виготовлення геометричного стола. Кажучи про геометричний стіл, я маю на увазі ніщо інше, як стоячий квадрат, обернений верхньою частиною догори й паралельний до лінії горизонту. І нехай хтось будує його в інший спосіб і пояснює його будову інакше, але це буквально те саме.

Отже, на тривкій платівці або на дощечці будь-якої величини треба накреслити квадрат так, як було запропоновано [рис. 9]. Посередині нижньої поверхні цієї дощечки треба \175\ приладнати видовбану завісу, в яку б легко встановлювалася верхня частина застромленої в землю ніжки, про яку ми зараз розповімо.

Рис. 9

Через поверхню квадрата, яким є зображений на малюнку квадрат ABCD, проводять EF, паралельну до двох його сторін і перпендикулярну до двох інших, і ця пряма має проходити через центр G. Крім того, в точки A, B, C встромляють тонкі голочки, а в самому центрі роблять малесеньку дірочку, щоб вставляти і виймати голку. Зробивши це, слід виготувати ніжку або підпірку так, як вказано на фігурі HI, на якій верхня частина ніжки — H має бути вставлена в завісу на дощечці, а нижній, загострений край, I слід застромити в землю. Крім того, треба взяти міцну лінійку, /94/ довшу від діаметра квадрата, хай ми позначимо її літерами ,KL, і до неї слід приладнати діоптри М і N, обернені своїми отворами до краю лінійки. Ці отвори можуть бути або круглими, або подібними до щілин, які розщеплюють корпус діоптри. Так, круглий отвір ми бачимо на діоптрі M, а отвір, що має форму щілини, — на діоптрі N. При встановленні цього інструмента на ніжку слід застосувати косинець з виском, бо, коли ми поставимо його на перевернутий квадрат, він покаже, чи буде його поверхня паралельною до лінії горизонту, чи ні. Можна приладнати до ніжки також іншу, поперечну дощечку, щоб, спираючись на неї, дошка могла обертатися перпендикулярно до лінії горизонту, й тоді цей інструмент можна використати для інших потреб. \176\

Виготовлення палиці Якова. Інструмент цей своєю формою нагадує хрест, та, невідомо чому, його називають палицею Якова.

Візьми дві планки, зроблені з міцного матеріалу й рівні одна одній, потім кожну з них розділи на 100 або на 10 рівних частин і в місцях поділу постав числові позначення, як ти бачиш на малюнку [рис. 10]. Після цього посередині планки CD слід зробити отвір такої товщини, як планка АВ, у такий спосіб, щоб у місці цього отвору в планку CD можна було вставити планку АВ, навколо якої б та, попередня планка, оберталася під прямим кутом в один і другий бік.

Рис. 10

Цей інструмент буде зручнішим, якщо візьмемо чотирикутні планки й якщо через середину планки АВ з боку, доступного нашому поглядові, ми проведемо пряму EF, паралельну до боку АВ, й так само через середину боку CD проведемо пряму GH з тої сторони, з якої позначено точки й цифри поділу (а позначені вони мають бути з того боку, до якого звернений наш погляд).

Крім того, кінець планки АВ, який треба буде наближати до ока, слід розмістити трохи навхрест з планкою CD, як ти бачиш на малюнку. Потім, як ти все це зробиш, до боку ED планки CD слід приєднати олов’яну або мідну платівку IK, ширина якої дорівнювала б ширині планки. А з’єднати цю платівку з планкою можна за допомогою цвяшка, закріпленого голівкою в точці I, але не дуже щільно, а так, щоб вона могла вільно повертатися навколо цвяшка туди, куди її потягне власна вага. Запам’ятай також, що рівність планок ти маєш вимірювати, починаючи від точки L, в якій планка АВ утворює кут з планкою CD у напрямі твого ока. Але й у такому разі планка АВ має бути коротшою принаймні на два або три грани, бо ж ніяк не можна, щоб вона сягала аж до самої зіниці /94зв./, хоч за довжину її треба приймати відстань між її початком і нашою зіницею. Цей інструмент дуже зручний у вжитку; крім того, його легко виготовити й носити з собою.

Виготовлення Андріївського хреста. Візьми дві прямі планочки неоднакової довжини — АВ й CD і так \177\ прибий цвяшком меншу планку CD до більшої АВ або встроми одну в одну, зробивши довгастий отвір, щоб вона могла рухатися вперед і назад за твоїм бажанням, залежно від потреби, але щоб вона сама собою випадково не посунулася, куди не слід. Ти бачиш це на даному малюнку. На цьому інструменті нічого не треба писати, лише для зручності більшу планку АВ можна розділити, починаючи знизу, на декілька рівних частин і ці частини позначити цифрами, які мають бути написані й під рухомою планкою, і над нею.

Рис. 11 Рис. 12

Можна також приладнати до боку більшої планки, подібно до того, як ми це робили при виготовленні попереднього інструмента, мідну дощечку або платівку, яка б не дуже щільно прилягала до планки й вільно поверталася. І вона хай служить виском. Ніжка більшої планки А має закінчуватися залізним вістрям, щоб її можна було встромляти в землю. Цей інструмент використовується для вимірювання будь-яких висот, а також для вимірювання не дуже великих відстаней. Вважають, що його назвали Андріївським хрестам через форму: адже він складається з двох схрещених планок, як і палиця Якова, але краще було б називати його Христовим хрестом [рис. 11].

Виготовлення гномона. Дві прямі дерев’яні планки з’єднай ортогонально, тобто так, щоб вони утворили прямий кут, і кожну з них розділи на 100 або більше рівних частин [рис. 12]. Частини ці мають бути якомога меншими, як ти бачиш на фігурі АВС. Тут так само, як і в попередніх \178\ інструментах, можна прилаштувати до одного боку, тобто до планки, мідну дощечку, яка виконує роль виска. І кожен на своєму власному досвіді навчиться, у який спосіб слід встановлювати цей інструмент і як прибивати його цвяшками або ставити якось інакше, якщо цей інструмент стоятиме. Після того, як ми приладнаємо до нього згадану дощечку, ним буде досить вручно користуватися, також тримаючи його в руках. Цей інструмент є майже таким самим, як і палиця Якова, проте зветься гномон таму, що за своєю формою він подібний до гномона паралелограма, який ми отримуємо, коли ділимо паралелограм на чотири менші паралелограми.

Ми вважали за необхідне розповісти тут про ці інструменти, які є найпростішими, /95/ і які досить легко виготовляються.

Інструменти для простого вимірювання. Проте геометрам треба мати також і такі інструменти, за допомогою яких можна здійснити не лише такі вимірювання, що потребують спеціальних математичних знань, але й прості, звичайні вимірювання. Адже математичні знання дають нам можливість знаходити невідомі величини не інакше, як за допомогою відношень, що встановлюються між ними й будь-якими відомими величинами на підставі золотого правила арифметики. Коли виникла потреба виміряти якісь величини без застосування математичних способів, то хоч таке вимірювання можна виконати й за допомогою рук, ніг або пальців, проте виконувати його буде значно зручніше, коли ми використовуватимемо для цього якісь інструменти. Існує два види таких інструментів: лінійки або планки, і ланцюги або шнури. Планки мають бути досить довгі, щоб довжина їх досягала 5 або 10 ліктів, збо футів. Їх можна зробити ще зручнішими, коли вмілий і досвідчений майстер складе їх з невеликих відрізків так, щоб вони могли розгортатися й складатися. Виготовлені у такий спосіб, вони можуть досягти 20 чи 30 саженів, і їх зручно буде носити з собою. Планка або лінійка має бути розділена на рівну кількість однакових, рівних одна одній частин. При цьому один край лінійки ділять на одні частини, другий на інші — від більших до найменших — так, як це роблять на звичайних лінійках, довжина яких дорівнює ліктеві.

Ланцюги бувають двоякі: одні, складені із залізних кілець, інші — із залізних паличок. Треба, щоб частини, з яких вони складаються, були рівними, і три вимірюванні потрібно натягати їх так, щоб середні ланки під дією власної ваги не відхилялися й не викривляли пряму лінію.

Шнури робляться з чистих конопель й складаються з багатьох ниток, сплетених у тугі витки. Натягати їх слід рівномірно. \179\

Крім того, шнури використовують ще й тоді, коли ти хочеш зробити вимірювання за допомогою лінійки, а місцевість, яку ти маєш виміряти, буде горбкуватою й нерівною (так майже завжди буває). Тоді треба протягнути через цю місцевість шнур, що вкаже пряму лінію, яку потім ти можеш виміряти, приклавши до неї лінійку.

Розділ третій

ДЕ ВИКЛАДАЮТЬСЯ ДЕЯКІ ФІЗИЧНІ Й МАТЕМАТИЧНІ ЗАКОНИ, НА ЯКИХ ГРУНТУЮТЬСЯ СУТЬ І МОЖЛИВІСТЬ ЗАСТОСУВАННЯ ГЕОМЕТРИЧНИХ ІНСТРУМЕНТІВ

1. Якщо хтось спитав би про те, чи є якісь підстави, на яких грунтуються доцільність і можливість застосування геометричних інструментів і, спираючись на які, ми можемо точно встановити величину будь-якого тіла, /95зв./ то слід було б відповісти, що можливість використання цих інструментів (принаймні, коли йдеться про вимірювання ліній) грунтується частково на фізичних, частково на математичних законах. Існує два фізичні явища, які є підставою застосування геометричних інструментів: випромінювання із світлих тіл і відбиття цих променів, а також плин зображень з відкритих нашому зорові предметів і відбиття цих зображень.

З математичних властивостей лише одна служить підставою застосування згаданих інструментів, а саме — пропорційність трикутників.

Рис. 13

2. Щодо плинних з предметів променів і зображень, то рух їх завжди відбувається по прямій лінії.

Наприклад, коли від точки А на поставлений біля неї предмет чи фігуру плине або промінь світла, або доступне нашому зорові зображення, то вони рухаються до точки В не по кривій лінії АСВ, а по прямій ADB [рис. 13]. Це добре відомо з нашого повсякденного досвіду: адже, коли шлях, який проходять по прямій образ предмета, або промінь світла \180\ загородити чимсь, як загороджує його на нашій фігуірі лінія DC, розміщена між А й В на прямому шляху ADB, то цей предмет не буде доступний нашому зорові, й промінь світла також не освітить те місце, до якого він не зможе дійти по прямій. Так і в нашому прикладі: ані промінь світла, ані образ не дійдуть від точки А до точки В через перешкоду C, що загороджує їм прямий шлях.

Отже, ми бачимо правильність цього твердження, бо коли б природа даного явища дала змогу зображенням і променям рухатися не по прямій, то вони б досягли нашого зору й при наявності перешкоди.

А питанням про те, чи плинуть якісь образи від предметів, чи, навпаки, плинуть якісь промені, що йдуть від ока до предметів, нехай займаються фізики: це аж ніяк не справа геометрів. Але оскільки в даному випадку це питання є підставою й тих, і інших явищ — і фізичних, і геометричних, треба сказати, що досвідом встановлено, що не від очей плинуть певні промені, а скоріше від предметів, які ми сприймаємо, певні образи плинуть до наших очей. Це тверд, ження фізики доводять різноманітними експериментами.

3. Коли ж світлові промені й образи предметів натрапляють на компактні тіла, вони відбиваються й відскакують від них, але відскакують і відбиваються під кутом, що дорівнює тому кутові, який вони утворили, падаючи на це тіло. Так, коли, припустимо, вони падають під прямим кутом, то під цим самим кутом й повертаються; коли ж падають під гострим кутом, то під таким самим кутом й відскакують у протилежну сторону.

У цьому також можна легко переконати кожного за допомогою багатьох експериментів. З особливою переконливістю це можна продемонструвати на дзеркалах: коли ти станеш проти дзеркала під прямим кутом, то побачиш сам себе, коли ж заглянеш у дзеркало збоку, то не побачиш себе, бо твоє пряме зображення, відхилившись від дзеркала, знаходитися з протилежного боку, й те зображення, що знаходиться з протилежного боку, дивиться в те саме дзеркало /96/ і стоїть під таким самим уявним кутом. Отже, так само, як рух і падіння предметів і зображень відбуваються по прямій лінії, так і відбиття їх теж буде прямолінійним.

Ось ми й розповіли про фізичні підстави, опираючись на які, можна здійснювати вимірювання за допомогою геометричних інструментів, як ви це незабаром побачите.

4. З математичних властивостей існує, як ми вже сказали, лише одна, на якій грунтується застосування геометричних інструментів, а саме те, що у рівнокутних трикутників сторони, які утворюють відповідно рівні кути, є пропорціональними. \181\ Це доводить Евклід у теоремі 4 шостої книжки, а ми розглянули її в першій книжці (розділ восьмий, теорема 4, твердження 4).

5. Отже, при застосуванні геометричних інструментів для вимірювання предметів завжди нам допомагатимуть і згадана математична властивість, і одна з фізичних властивостей, про які йшлося вище, і, спираючись на них, ми виконаємо всю цю роботу. Адже промені, що плинуть від тіла, яке світиться, або зображення, що доходять до нас від предметів, утворюють кут, одною стороною якого є цей самий промінь, а другою — відстань на місцевості від джерела цього променя до його кінця. Коли ж поставити якийсь інший предмет прямо проти цього кута так, щоб він був ніби основою й сполучав промінь з відстанню на місцевості (але щоб не перетинав цього променя), то утвориться трикутник.

Що ж до геометричного інструмента, то його встановлюють так, щоб один його кут, а саме той, що вже є (адже в кожному інструменті ми маємо, принаймні, один кут точно визначений, що само собою зрозуміло), дорівнював би одному кутові згаданого нами трикутника, а другий, уявний кут інструмента, збігся з другим кутом згаданого трикутника (через це вія дорівнюватиме йому), тоді третій, уявний кут, теж дорівнюватиме третьому уявному кутові згаданого трикутника. У такий спосіб у нас утворяться два рівнокутні трикутники, й, згідно з теоремою 4 шостої книжки Евкліда, їх сторони, що утворюють рівні кути, будуть пропорціональними. І тому, коли нам відомі довжина сторін трикутника, утвореного інструментом, і довжина одної сторони трикутника, утвореного променем (адже ця довжина є відстанню, що обмежує даний промінь на місцевості й єднальний промінь від предмета з самим цим предметом), то ми знайдемо за допомогою золотого правила також довжину другої сторони цього самого трикутника.

Рис. 14

6. Пояснимо це на прикладі.

Хай від точки В плине промінь чи зображення до точки С й утворює пряму BEC, а відстань, на якій знаходиться кінець променя C, утворює іншу пряму ADC. Між нею й променем міститься кут АСВ. Промінь з відстанню, на якій знаходиться \182\ його кінець на місцевості, з’єднує вежа або будь-який інший предмет /96зв./ АВ. Отже, утворився трикутник АВС, кут якого A, припустимо, буде прямий. Бажаючи визначити висоту вежі АВ, я застосовую інструмент, наприклад гномон CDE, так, щоб одна його сторона закінчувалася в точці C, а друга — в точці E. Це слід робити, спостерігаючи зображення, що плине, й спрямовуючи зір через точки інструмента С й Е до точки B, про що докладніше буде сказано далі. Отже, після цього ми отримаємо другий, маленький трикутник EDC, утворений сторонами інструмента й зображенням, що плине. Цей малий трикутник матиме кути, що дорівнюють кутам попереднього великого, бо кут D дорівнює кутові A, як прямий прямому, а кут DCE дорівнює кутові ACB, бо збігається з ним, а звідай й кут ABC дорівнюватиме кутові DEC. Отже, сторони цих двох трикутників будуть пропорціональними, а саме: як CD відноситься до DE, так і СА до АВ й т. д. А знаючи три величини — CD, DE й СА, я можу визначити також і четверту — АВ.

Коли жоден кут одного трикутника не збігається з будь-яким кутом другого трикутника, то легко буде довести, що один з них дорівнює іншому за допомогою перенесення прямої лінії на другу, паралельну до неї лінію.

7. У такий самий спосіб здійснюється також вимірювання за допомогою відбиття променів або зображень, крім того випадку, коли жоден кут малого трикутника (більш коротко ми надалі будемо називати великими також і малі трикутники, утворені інструментами, й інші, в які вміщують предмети, що підлягають вимірюванню) не збігається з якимсь одним кутом великого трикутника, й це не вдається переконливо й точно довести навіть шляхом перенесення прямої лінії на другу, паралельну до неї. В цьому останньому разі рівність усіх кутів малого трикутника відповідним кутам великого можна встановити іншим шляхом: адже один кут в обох трикутниках завжди буде прямим (бо інструменти роблять прямокутними, оскільки й великі трикутники бувають майже завжди прямокутними), а кут відбиття дорівнюватиме кутові падіння. Отже, й третій кут одного трикутника дорівнюватиме третьому кутові другого трикутника. А оскільки всі три кути будь-якого трикутника дорівнюють у сумі двом прямим, як було доведено в теоремі 32 /97/ першої книжки, то, коли відняти від двох трикутників чотири відповідно рівні один одному кути, то два, що залишаться, теж будуть рівними, згідно з 3-ю аксіомою.

8. Ось такими є підстави, на яких грунтуються можливість і доцільність використання вимірювальних інструментів. Після того, як ми їх тут виклали й докладно пояснили, \183\ кожному легко буде зрозуміти, на яких підставах і як треба здійснювати таке вимірювання. І навряд чи є потреба для геометіра-початківця в інших доведеннях. А тому, щоб не плавати, як кажуть, верхами, переходячи відразу до наступних розділів, необхідно старанно й грунтовно засвоїти щойно викладений матеріал.

Для того, щоб познайомитися із застосуванням квадранта, треба засвоїти деякі інші, додаткові відомості, які, коли дасть змогу час, ми подамо окремо трохи згодом.

Розділ четвертий

ПРО ВИМІРЮВАННЯ ВІДСТАНЕЙ НА МІСЦЕВОСТІ, ДОСТУПНІЙ З ОДНОГО БОКУ

Окремі задачі вимірювання, які будуть викладені в усіх наступних розділах, ми розглядаємо як загальні. Проте ми розподілимо їх на ряд інших — часткових, або спеціальних задач, по-перше, тому, що одне й те саме питання можна розв’язати за допомогою різних інструментів; по-друге, що за допомогою того самого інструмента можна здійснювати \184\ вимірювання по-різному. Хоча всі ці вимірювання нічим не відрізняються одне від одного щодо формального об’єкта (адже всі вони мають за об’єкт лінію), проте, з точки зору матеріального об’єкта та інструментів, вони є різними. Керуючись цим, усі ці задачі ми подаватимемо окремо, не звалюючи їх, як кажуть, на одну купу, і при цьому розподіл на окремі розділи не завадить.

Задача 1. Виміряти відстань, користуючись стоячим квадратом, або геометричним столом.

Хай нам треба виміряти відстань між пунктами А й В. Виконуй це у такий спосіб: розмісти квадрат, поставлений на ніжку у пункті A так, щоб площина його була паралельною до лінії горизонту, й поверни сторону AC в напрямку до точки В. Приладнавши до цієї сторони АС Лінійку з діоптрами, слідкуй за кінцем B, а потім, залишивши квадрат в тому самому положенні, не зрушуючи його з місця, прилаштуй лінійку з діоптрами до сторони А й через діоптри спостерігай будь-яку позначку /97зв./ E, що відстоїть від A на декілька п’ядей. Зробивши це, встроми кілок або якусь іншу позначку в точку A і перемісти квадрат з точки A в точку E, звідки знов через ту саму сторону AD поглянь на кілок A, повертаючи квадрат то туди, то сюди, поки промінь від сторони AD не впаде на згаданий кілок. Потім, закріпивши інструмент, спрямуй лінійку з діоптрами від центра A до кінцевої точки B, доки не побачиш її крізь діоптри. А щоб лінійка не зсувашася з центра A, треба встромити в центрі голочку й до неї прикласти лінійку тим боком, на якому розміщені діоптри, як ми вже сказали. Поглянувши у такий \185\ спосіб на кінцеву точку B, не зрушуй лінійку й подивись, де лінійка своїм боком з діоптрами перетне сторони квадрата. Перетнути вона може або в точці G [рис. 15], бо є вершиною кута, або, припустимо, в точці H на стороні FG [рис. 16], або, наприклад, в точці I, що міститься на стороні GK [рис. 17], залежно від того, якою буде відстань точки В від точки А. Хай спочатку точкою перетину буде G, і ми отримуємо лівію EF, що буде ніби стороною квадрата, яка дорівнює стороні FG. Таким чином, лінія ЕА — відстань від початкового пункту до АВ — дорівнює шуканій відстані кінцевої точки.

Доведення. Тут ми маємо два трикутники: великий АЕВ й малий FEG, вони рівнокутні: адже кут F малого трикутника дорівнює кутові А великого трикутника як прямий прямому, а кут Е спільний для обох трикутників. А тому й кут АВЕ дорівнює кутові FEG, згідно з теоремою 32 першої книжки. Отже, це співрозмірні, пропорціональні трикутники (теорема 4 шостої книжки), й тому, як EF відноситься до FG, так і ЕА — до АВ, що й треба було довести.

В іншому випадку, коли б точкою перетину була точка H, лінія ЕА так відносилася б до АВ, як EF до FH.

Отже, за допомогою золотого правила ми знаходимо відстань АВ, встановивши перед тим інша три величини — EF, FH і ЕА.

Рис. 15 Рис. 16 Рис. 17

Доведення. Тут ми теж маємо два трикутники: великий — АВЕ й малий — FHE, вони рівнокутні, бо кут F дорівнює кутові A, а кут E — спільний для обох трикутників. Отже, й два останні кути дорівнюють один одному, бо трикутники ці пропорціональні.

В третьому випадку, коли б точкою перетину була точка І, виникла б така пропорція: АЕ — до АВ, як IK — до EK.

Доведення. Знову ми маємо справу з двома трикутниками — великим АВЕ й малим EIK, вони рівнокутні: кут K дорівнює кутові А як прямий /98/ прямому, а кут KIE дорівнює кутові ВЕА, бо пряма ВЕ, перетинаючи другу паралельну пряму KG, утворює перехресні кути K і Е й ВЕА, що дорівнюють один одному, згідно з твердженням 29, якого ми не \186\ подаємо, бо його легко зрозуміти з твердження 27. Тому тут ми будемо посилатися на це останнє твердження 27. Отже, й два останні кути теж дорівнюватимуть один одному, звідки випливає, що ці два трикутники пропорціональні. Таким чином, й т. д., що й треба було довести.

І досить буде подати таке доведення один раз, щоб не повторювати й не витрачати даремно час, звичайно, якщо лише при якомусь вимірюванні ми не натрапимо на якийсь незвичайний, особливий випадок. \187\

Попередня     Головна     Наступна         Примітки