Уклінно просимо заповнити Опитування про фонему Е  


Попередня     Головна     Наступна





ПРИМІТКИ «ГЕОМЕТРІЯ»



ПЕРЕДМОВА


 1 Прокл (410-485 рр.) - грецький філософ, репрезенгант пізнього неоплатонізму. Автор низки творів з філософії та математики, зокрема коментаря до «Начал» Евкліда.

 2 «Неперервна» (continua) - автор не має на увазі неперервність у сучасному розумінні, а швидше у розумінні цілості, суцільності.

 3 Гномоніка, або скіотерика - це різні способи астрономічних вимірювань за допомогою тіні від спеціального інструмента - гномона. Гномон - найдавніший і найпростіший астрономічний інструмент, основною частиною якого є вертикальна жердина. Спостерігаючи нахил і довжину тіні від цієї жердини на горизонтальній площині, можна встановити висоту Сонця над горизонтом, його нахил, а, отже, й визначити час (ідея гномона застосовується в сонячному годиннику). Проводячи такі вимірювання в моменти зимового й літнього сонцестояння, астрономи визначали також і нахил екліптики до екватора.

 4 Архімед - відомий математик і механік давнього світу. Народився в Сіракузах у III ст. до н. е. В юнацькі роки під час перебування в Олександрії був учнем Евкліда. Після повернення на батьківщину присвятив себе науковим заняттям. Під час війни Риму з Сіракузами винайшов оригінальні військові механізми, за допомогою яких його рідне місто стримувало римські легіони протягом двох років. В той день, коли римляни нарешті захопили Сіракузи, Архімед нічого про це не знав, бо вся його увага була зосереджена на розв’язанні геометричних задач. Обурений тим, що римський легіонер, який наблизився до нього, заважав йому працювати, він крикнув йому: «Не чіпай моїх кругів!» Після цього римський солдат убив його.

 5 Гієрон-цар сіракузян, який очолював Сіракузи під час війни з Римом (III ст. до н. е.).

 6 Платон - Див. примітку 56 до кн. І «Риторики».

 7 Геометрами називали математиків взагалі.

 8 Гіппократ - Див. примітку 66 до кн. І «Натурфілософії».

 9 Філон Юдей, або Філон Олександрійський (~20 до н. е.- 50 н. е.) - видатний представник єврейського еллінізму, центром якого була Олександрія. Філософ - еклектик, теолог, коментатор «священних» книг (головним чином «Книги Буття»). Був прихильником платонізму з домішками стоїцизму. Філон був першим філософом, що сформулював ідею абсолютного монотеїзму. Розробляв також проблеми космології, психології, етики.

 10 Еразм Ротердамський (1465-1536 рр.)-один з найвидатніших гуманістів епохи Відродження, ворог схоластики й церковної моралі, сучасник і друг відомого англійського утопіста Томаса Мора. Писав свої твори латинською мовою, багато зробив для популяризації гуманістичної освіченості, античної культури та літератури. У своїх політичних і філософсько-публіцистичних трактатах полемізував з Ульрихом фон Гуттеном і Мартіном Лютером. Йому належить збірка афоризмів і анекдотів античних авторів - «Adagia» (1500 р.).

 11 Арістіпп з Кірени (народився ~435 р. н. е.) — грецький філософ, учень і послідовник Сократа. Після смерті Сократа створив у рідному місті власну філософську школу, яка була відома під назвою кіренської, або гедонійської (від слова гедонізм — філософія насолоди).

 12 Вітрувій — римський архітектор та інженер, жив у другій половині І ст- до н. е. Автор «Десяти книжок про архітектуру». Вивчав основи механіки, машини та механізми, що застосовувалися на будівництві.

 13 Діодор Сіцілійський — грецький історик сіцілійського походження, сучасник Цезаря й Августа, автор «Історичної бібліотеки» (40 книжок), яка була створена ним у Римі грецькою мовою й охоплювала історію Сходу, Греції та Риму від міфічних часів до завоювання Галлії Цезарем.

 14 Плутарх — Див. примітку 56 до кн. І «Риторики».

 15 Тепер цей розділ геометрії має назву планіметрія.

 16 Тобто «плоска фігура». (Ред.)’

 17 Евклід Мегарянин — засновник мегарської філософської школи, учень Сократа. Поєднував філософію Сократа з філософією Парменіда Елейського. До його імені додавали епітет Мегарський, або Мегарянин, щоб не сплутати з відомим геометром Евклідом, який походив з Олександрії.

 18 Терміном planum Ф. Прокопович користується і для позначення плоских фігур, і для позначення площин. Звичайно, ці геометричні поняття дуже близькі, але іноді їх слід розрізняти. Тому залежно від контексту ми перекладали термін planum двояко: в одному змісті — площини, в іншому — плоскі фігури.

 19 «Теорема» — від гр. θεωρεω — «споглядати». Пізніше слово θεωρεω набуває значення — «дослідження», «вчення», «твердження», «правило».







КНИЖКА ПЕРША


 1 Тут Ф. Прокопович дуже близький до визнання того, що математичні поняття — це абстракція від реальної дійсності.

 2 Йдеться, власне, про відрізок. Слід мати на увазі, що й далі Ф. Прокопович дуже часто вживає термін «лінія» (linea) в значенні «відрізок».

 3 Ф. Прокопович, можливо, ще не знав, що кут між двома кривими можна розглядати як кут між дотичними, проведеними до кривих в точці їх перетину.

 4 Неточно. Мається на увазі, що і дві прямі можуть мати спільний відрізок, лише зливаючись в одну.

 5 Далі у викладі теорем і задач Ф. Прокопович весь час посилається на відповідні твердження Евкліда. Встановлено також, що для створення курсу «Геометрії» Ф. Прокопович творчо використав підручник німецького математика й астронома Христофора Клавія — «Euclidis elementorum libri XV», який був теж написаний, як видно з його назви, на основних твердженнях Евклідової геометрії.

 6 Оскільки в рукопису «Геометрії» є лише посилання на креслення до теорем і задач, а самі креслення відсутні, ми вважали за необхідне відновити їх, щоб полегшити розуміння викладених геометричних тверджень.\459\

 7 «Відстань», тобто радіус кола, при побудові тупокутного трикутника має бути меншою від АВ, але більшою від AB/2.

 8 Нагадуємо, що йдеться про відрізок.

 9 Ф. Прокопович не формулює чітко в задачах, чим можна користуватися при їх розв’язанні (а користується циркулем і лінійкою). Не сказано також, як «поділити навпіл».

 10 У сумі. (Ред.).

 11 Цю теорему, як і низку наступних, Ф. Прокопович не доводить.

 12 У сумі. (Ред.).

 13 Далі розділ і книжка «Начал» Евкліда подається в дужках скорочено. (Ред.).

 14 «Діаметр», тобто «діагональ».

 15 «У величин ідентичність і рівність не розрізняються» — йдеться про геометричні величини,

 16 Мабуть, рівність площ.

 17 Це характерно лише для рівнобедрених трикутників, що далі й відзначено.

 18 Рівні-рівновеликі. Досить зауважити, що рівновеликими є трикутники AEG й AGH, GIC й GCF.

 19 Ф. Прокопович позначає чотиристоронні фігури двома літерами вершин протилежних кутів.

 20 «коли йдеться про числа» — тобто (a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2.

 21 Теорема означає тотожність: 4ab + (b - а) 2 = (а + b) 2. Як і Евклід, Ф. Прокопович тут і в багатьох інших місцях суто алгебраїчну (арифметичну) формулу записує й доводить геометрично.

 22 Див. попередню примітку. Тут маємо тотожність: (a 2+b 2)/2 = ((a+b)/2) 2 + ((a-b)/2) 2

 33 Йдеться про поділ числа «а» на два доданки x, a - x так, щоб було: ах - (а — х) 2, тобто а 2 — 3ax + x 2 = 0. Отже, геометрично розв’язується квадратне рівняння.

 24 Ф. Прокопович не дає точного визначення поняття «круг» і не вказує на те, чим відрізняється «круг» від інших криволінійних фігур. Термін «circulus» в «Геометрії» Ф. Прокоповича має два значення: «круг» і «коло».

 25 Тобто радіуси. (Ред.).

 26 Йдеться про те, що дві прямі перетинаються лише в одній точці, яка й є в даному разі центром кола.

 27 Мабуть, для Ф. Прокоповича теорема була очевидною. Насправді, потрібне доведення.

 28 Це краще сформулювати так: нехай точка В на АЕ теж належить дузі кола. Тоді AD = BD. Кут А — прямий, отже, й кут В має бути прямим, що є абсурдом.

 29 Сенс твердження в тому, що кут, про який ідеться, може бути як завгодно близьким до прямого, але лишається меншим від такого.

 30 «На дузі кола» — мається на увазі: «на дузі сегмента».

 31 Теорема важлива тим, що дає підставу для вимірювання кута дугою.

 32 Під фігурою тут розуміється багатокутник, «кут... торкається» — вершина кута лежить на боці (на межі). \460\

 33 Задачі 2, 3 відрізняються від наступних задач 4, 5 тим, що в них дано не самий трикутник, а подібний до нього.

 34 Зазначене стосується правильних (мовою автора — «рівносторонніх і рівнокутних») багатокутників.

 35 Такі задачі цікавлять математиків і досі, бо їх зміст полягає в тому, що коли правильний багатокутник можна побудувати циркулем і лінійкою, застосованими скінченне число разів, то довжина сторони є алгебраїчним числом.

 36 Можна було б записати цю умову у формі:

x1=ax2; x3=ax4; x5=bx2; x6=bx4

й одразу:

x1 + x5 = (a+b)x2; x3+x6=(a+b)x4

Але Ф. Прокопович, йдучи за Евклідом, ще не користувався алгебраїчною символікою. У нього (як і в Евкліда) величини — це відрізки.

 37 Тут x1 = ax2, s = at; z1 - s = a(z2 - t) (див. попередню примітку).

 38 Тут x1/x2 = x3/x4, x3/x4 > x5/x1, x1/x2 > x5/x6 (див. дві попередні примітки).

 39 Ідеться про площі.

 40 Йдеться, передусім, про вимірювання на відстані.

 41 Ще раз нагадуємо, що геометричною мовою формулюється і доводиться арифметичне твердження.

 42 «Перетворення однієї фігури на іншу» — це означає побудувати фігуру, рівновелику даній, за допомогою циркуля й лінійки, застосованих скінченне число разів.

 43 Квадратура круга завжди викликала у математиків зацікавленість, і декому з них здав.алося, що вони дійшли до її розв’язання. Але тільки 1881 р. Ф. Ліндеман остаточно довів, що число Я-трансцендентне, а отже, квадратура круга, тобто побудова квадрата, рівновеликого кругові, неможлива (задачі 1, 2 в «Геометрії» Ф. Прокоповича).

 44 Динострат (народився «370 р. до н. е.) — грецький геометр, учень Платона. Твори його не збереглися. Опрацьовував теорію конічних перетинів. Найвідоміші його праці стосуються випрямлення кола за допомогою квадратриси.

 45 Нікомед (III — II ст. до н. е.) — грецький геометр, послідовник Архімеда у вивченні вищих кривих. Описав криву, що називається конхоїдомою, й винайшов простий прилад для побудови цієї кривої безперервним рухом.

 46 Попп Олександрійський (роки життя точно не встановлені) — грецький математик другої половини III ст. н. е., автор твору «Математична збірка» у 8-ми книжках, з яких дійшли до нас шість останніх. Перші дві були присвячені грецькій арифметиці, 3 — 5-та — переважно геометрії, 6-та — астрономії, 7-ма містить Коментарі до творів Аполлонія й серед них — до «Конічних перетинів», 8-ма присвячена механіці. \461\

У творах Поппа Олександрійського є багато ексцерптів з творів грецьких авторів, що не дійшли до нас, і тому його твори є цінним джерелом з історії грецької математики елліністичної епохи (див.: Раррі Alexandrini, Collectiones quae supersunt, ed. F. Hultsch, vol. 1-3. Berolini, 1876 — 1878).

 47 Автор або не знав, або вважав за непотрібне (чи важке) подати точні визначення еліпса, параболи (й гіперболи) тощо. Він лише намагається дати інтуїтивне уявлення про згадані криві за допомогою наближеної їх побудови.

 48 Нагадуємо: «площини» — це плоскі фігури та криві.






КНИЖКА ТРЕТЯ


 1 «Вимірювання площин» — це обчислення площ, «вимірювання просторових тіл» — обчислення об’ємів.

 2 Запропонований метод дає тільки можливість перевірити симетричність лінії CD. За цим методом CD вважатиметься прямою. Дивно, чому не рекомендується прикладання до виска.









Попередня     Головна     Наступна


Етимологія та історія української мови:

Датчанин:   В основі української назви датчани лежить долучення староукраїнської книжності до європейського контексту, до грецькомовної і латинськомовної науки. Саме із західних джерел прийшла -т- основи. І коли наші сучасники вживають назв датський, датчанин, то, навіть не здогадуючись, ступають по слідах, прокладених півтисячоліття тому предками, які перебували у великій європейській культурній спільноті. . . . )




Якщо помітили помилку набору на цiй сторiнцi, видiлiть ціле слово мишкою та натисніть Ctrl+Enter.

Iзборник. Історія України IX-XVIII ст.